למשולש A יש שטח של 12 ושני צדדים באורך 4 ו -8. משולש B דומה למשולש A ויש לו צד באורך 7. מהם האזורים המקסימליים והמינימליים האפשריים של המשולש B?

תשובה:

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

הסבר:

ראשית עליך למצוא את אורכי הצד עבור המשולש בגודל מרבי, כאשר הצד הארוך ביותר גדול מ 4 ו - 8 ואת המשולש בגודל מינימלי, כאשר 8 הוא הצד הארוך ביותר.

כדי לעשות זאת השתמש בנוסחה של הרון: #s = (a + b + c) / 2 # איפה #א ב ג# הם אורכי הצד של המשולש:

#A = sqrt (s-a) (s-b) (s-c)) #

תן #a = 8, b = 4 "& c" הוא אורך אור לא ידוע "#

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

(6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) #

# 1 = = = sqrt (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

כיכר משני הצדדים:

# 2 = (1 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (+ 2/1 / 2c) (6-1 / 2c) #

משוך החוצה 1/2 מכל גורם:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

לפשט:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) # #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

*תחליף #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

השתמש בהשלמת הריבוע:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

שורש ריבועי משני הצדדים:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -qqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

תחליף # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

מאחר שאורכי הצד המשולשים חיוביים עלינו להתעלם מהתשובות השליליות:

אורכי צד מינימליים ומקסימליים במשולש A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~ ~ 6.137, 11.06 #

מאז שטח המשולשים פרופורציונלי לריבוע של אורכי הצד אנו יכולים למצוא את המקסימום ואת מינימום תחומים של משולש B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36.75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4.8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

למשולש A יש שטח של 12 ושני צדדים באורך 5 ו -7. המשולש B דומה למשולש A ויש לו צד באורך 19. מהם האזורים המקסימליים והמינימליים האפשריים של המשולש B?

שטח מרבי = 187.947 "" יחידות מרובע מינימום שטח = 88.4082 "" יחידות מרובע משולשים A ו- B דומים. על פי יחס יחס פרופורציה של פתרון, משולש B יש שלושה משולשים אפשריים. עבור משולש A: הצדדים הם x = 7, y = 5, z = 4.800941906394, זווית Z = 43.29180759327 ^ @ זווית Z בין הצדדים x ו- y התקבל באמצעות הנוסחה עבור אזור המשולש שטח = 1/2 * x * y * חטא Z = = 1/2 * 7 * 5 * חטא = 43.29180759327 ^ @ שלושה משולשים אפשריים למשולש B: הצדדים הם משולש 1. x_1 = 19, y_1 = 95/7, z_1 = 13.031128031641, זווית Z_1 = 43.29180759327 ^ @ משולש 2. x_2 = 133/5, y_2 = 19,87783700002, זווית Z_3 = 43.29180759327 ^ @ שטח מקסימלי עם משולש 3. מ

למשולש A יש שטח של 12 ושני צדדים באורך 7 ו -7. המשולש B דומה למשולש A ויש לו צד באורך 19. מהם האזורים המקסימליים והמינימליים האפשריים של המשולש B?

שטח המשולש B = 88.4082 מאז משולש A הוא isosceles, משולש B יהיה גם הוא שוה.צדדים של משולשים B & A הם ביחס של 19: 7 אזורים יהיה ביחס של 19 ^ 2: 7 ^ 2 = 361: 49:. שטח המשולש B = (12 * 361) / 49 = 88.4082

למשולש A יש שטח של 15 ושני צדדים באורך 4 ו -9. משולש B דומה למשולש A ויש לו צד באורך 7. מהם האזורים המקסימליים והמינימליים האפשריים של המשולש B?

יש צד שלישי אפשרי של סביב 11.7 במשולש א. אם זה scaled עד שבעה היינו מקבלים שטח מינימלי של 735 / (97 + 12 מ"ר) (11)). אם אורך צד 4 scaled עד 7 היינו מקבלים שטח מקסימלי של 735/16. זו אולי בעיה מסובכת יותר ממה שהיא מופיעה לראשונה. כל אחד יודע איך למצוא את הצד השלישי, אשר נראה לנו צורך עבור בעיה זו? נורמלי טריג רגיל גורם לנו לחשב את הזוויות, ביצוע קירוב שבו לא נדרש. זה לא באמת לימד בבית הספר, אבל הדרך הקלה ביותר היא משפט ארכימדס, צורה מודרנית של משפט של הרון. בואו נקרא A של שטח A ולקשר אותו לצדדים של A, b ו- c. 16 A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ c c מופיע רק פעם אחת, כך שזה לא ידוע לנו. בואו נפתור את זה.