מהו intx ^ e (lnx) / (2x) dx?

תשובה:

#= 1/4#

הסבר:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

תשובה:

#1/4#

הסבר:

ניתן לעשות זאת במספר דרכים, הנה שניים מהם. הראשונה היא להשתמש בתחליף:

#color (אדום) ("שיטה 1") #

(x) dx # (xn) (x) dx #

תן #u = ln (x) מרמז du = (dx) / x #

שינוי המגבלות:

#u = ln (x) מרמז u: 0 rarr 1 #

אינטגרל הופך:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

זוהי הדרך הפשוטה יותר, אך ייתכן שלא תמיד תוכל לבצע החלפה. חלופה היא אינטגרציה על ידי חלקים.

#color (אדום) ("שיטה 2") #

השתמש באינטגרציה על ידי חלקים:

עבור פונקציות #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) מרמז u (x) = 1 / x #

# ('x) = 1 / (2x) פירושו v (x) = 1 / 2ln (x) #

# (ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx # (xint) dx = 1 / 2ln (x) ln (x)

קיבוץ כמו מונחים:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

# x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

אנחנו עובדים עם אינטגרל מסוים, אם כי כך החלת גבולות והסרה של קבוע:

(1) (1) (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

# (1) (1) (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #