שאלה # 6bd6c

תשובה:

0

הסבר:

#f (x) = x ^ 3-x # היא פונקציה מוזרה. זה מאמת #f (x) = -f (-x) #

לכן # dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (1) f (x) + f (-x) dx = 0 #

תשובה:

# int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

זה יכול להיות האזור, אבל הפונקציה לא שומר על סימן קבוע בין #x ב- -1,1 # #. כמו כן, בשל סימטריה ב # x = 0 # אשר חותך בחצי מרווח זה, את האזורים לבטל זה את זה ולסמן את האזור.

הסבר:

מבחינה גיאומטרית, האינטגרל של פונקציה של משתנה אחד בלבד שווה לאזור. עם זאת, הגיאומטריה מרמזת כי הפונקציה מוערך קטן יותר הוא נסחף מן הפונקציה מוערך גדול על מנת שהאזור לא יהיה שלילי. ליתר דיוק, עבור שתי פונקציות #f (x) # ו #g (x) # השטח בין שני הגרפים ב # a, b # J

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

כלומר, יש לדעת איזה אחד מהמקרים הבאים אכן נכון:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

עכשיו בהתחשב בתפקוד שלך, למצוא את הסימן של ההבדל בין פונקציות אלה:

# x ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

אנו רואים את זה עבור אזור נתון של #-1,1# כי התרגיל נותן לך, את השלט למעשה משתנה מ חיובי לשלילי ב # x = 0 #. לכן, מבחינה גיאומטרית אינטגרל זה אינו מייצג את השטח. השטח בפועל הוא:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

מאז השטח בין 0 ל 1 יהיה שלילי, אנחנו פשוט להוסיף סימן מינוס אז זה מוסיף. אם תפתור את האינטגרלים:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

שימו לב ששני האינטגרלים מניבים את אותו ערך? זה בגלל הסימטריה של הפונקציה, אשר גורם אינטגרל שלך להיות שלילי.

לסיכום:

האינטגרל שלך שווה ל:

# 1-1-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 1 = 1 / 4-1 / 4 = 0 #

שטח הפונקציה, אם יתבקש, יהיה:

# X = 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

לכן, זה עשוי להזכיר את האזור, אבל אינטגרל אתה נתון אינו מייצג שטח (אתה יכול לדעת את זה מההתחלה, שכן אזור לא יכול להיות 0). התוצאה הגיאומטרית היחידה שניתן להשיג היא סימטריה של הפונקציה. עבור ציר הסימטריה # x = 0 # את הערכים הסימטריים של #איקס# #-1# ו #+1# תשואה אזורים שווים, ולכן הפונקציה היא הסימטרי ביותר. גרף שתי פונקציות באותו גיליון, אתה יכול לראות הוא למעשה סימטרי: