שאלה # 35a7e

תשובה:

כפי שצוין בהערות להלן, זוהי סדרת MacLaurin עבור #f (x) = cos (x) #, ואנחנו יודעים כי זה מתכנס ב # (- oo, oo) #. עם זאת, אם אתה רוצה לראות את התהליך:

הסבר:

מכיוון שיש לנו מפעל במכנה, אנו משתמשים מבחן יחס, שכן זה עושה את הפשטות קצת יותר קל. נוסחה זו היא:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

אם זה <1, הסדרה שלך מתכנסת

אם זה 1>, הסדרה שלך סוטה

אם זהו = 1, הבדיקה שלך אינה חד משמעית

אז בואו נעשה זאת:

(# 1) (+ 1) (+ 1) (+ 1) ^ (k + 1) (x 2 (2k + 2) / (2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k!) / (x ^ (2k)) #

הערה: היזהר מאוד איך אתה מחבר את (k + 1). 2k יהפוך 2 (k + 1), לא 2k + 1.

אני מוכפל על ידי הדדי של # x ^ (2k) / ((2k)! # במקום לחלק רק כדי להפוך את העבודה קצת יותר קל.

עכשיו, בואו אלגברה. בשל הערך המוחלט, המונחים החלופיים שלנו (כלומר # (- 1) ^ k #) פשוט יבטל, כי תמיד תהיה לנו תשובה חיובית:

(x 2 (2k +) (2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

אנחנו יכולים לבטל את שלנו # x ^ (2k) #של:

#)> lim_ (k-> oo) ABS ((x ^ 2 / (2k + 2)!))) * ((2k)! #

עכשיו אנחנו צריכים לבטל את factorials.

נזכיר את זה # (2k)! (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

כמו כן, # (2k + 2)! (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

הודעה:

# (2k)! צבע (אדום) (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! (2k + 2) * (2k + 1) * צבע (אדום) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

כפי שאתם יכולים לראות, אנחנו # (2k)! # הוא למעשה חלק # (2k + 2) #. אנו יכולים להשתמש בזה כדי לבטל כל מונח נפוץ:

# (2k)) (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * (2k * 1)) / (2k + 2) * (2k + 1) * ביטול (צבע (אדום) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

זה משאיר

#)> lim_ (k-> oo) ABS ((x ^ 2 / (2k + 2) (2k + 1)) #

עכשיו, אנחנו יכולים להעריך את הגבול הזה. שים לב כי אנחנו לא לוקחים את המגבלה הזו ביחס #איקס#, אנחנו יכולים גורם לזה:

# => ABS (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / (2k + 2) (2k + 1)) #

# => ABS (x ^ 2 * 0) = 0 #

אז כפי שאתה יכול לראות, זה הגבול = 0, אשר פחות מ 1. עכשיו, אנחנו שואלים את עצמנו: האם יש ערך כלשהו #איקס# עבור איזה גבול זה יהיה 1? והתשובה היא לא, שכן כל דבר כפול 0 הוא 0.

אז, מאז (# 2) +) (x) (2k + 2) / (2k + 2)!) (*) (2k)!) / (x ^ (2k)) <1 # עבור כל הערכים של #איקס#, אנו יכולים לומר כי יש לו מרווח של התכנסות # (- oo, oo) #.

מקווה שזה עזר:)