מהו ההופך של f (x) = ln (arctan (x))?

תשובה:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

הסבר:

בדרך אופיינית למציאת פונקציה הפוכה היא להגדיר #y = f (x) # ולאחר מכן לפתור עבור #איקס# לרכוש #x = f ^ -1 (y) #

יישום זה כאן, אנחנו מתחילים עם

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -Y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (לפי ההגדרה # ln #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (לפי ההגדרה # arctan #)

כך יש לנו # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

אם ברצוננו לאשר זאת באמצעות ההגדרה # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

תזכור את זה #y = f (x) # אז כבר יש לנו

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 -1 (f (x)) = x #

בכיוון ההפוך, #f (f ^ -1 (x)) = ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# = f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# - - (f = -1 (x)) = - (x - ln (e)) = - (x - 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #