מה הם הפתרונות (z-1) ^ 3 = 8i?

תשובה:

#z ב {sqrt (3) + 1 + i, -qqrt (3) + 1 + i, 1-2i}

הסבר:

עבור בעיה זו, אנחנו צריכים לדעת איך למצוא את # n ^ "th" # שורשים של מספר מורכב. לשם כך, נשתמש בזהות

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

בגלל הזהות הזאת, אנחנו יכולים לייצג כל מספר מורכב כמו

# a + bi = Re ^ (itheta) # איפה #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ו #theta = arctan (b / a) #

עכשיו נלך על השלבים כדי למצוא את # 3 ^ "rd" # שורשים של מספר מורכב # a + bi #. השלבים למציאת # n ^ "th" # שורשים דומים.

בהתחשב # a + bi = Re ^ (itheta) # אנו מחפשים את כל המספרים המורכבים # z # כך ש

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

כפי ש # z # הוא מספר מורכב, קיים # R_0 # ו # theta_0 # כך ש

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

לאחר מכן

# z = 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

מכאן, יש לנו מיד # R_0 = R ^ (1/3) #. אנו עשויים גם להשוות את המעריכים של # e #, אך מציינים כי כמו סינוס וקוסינוס הן תקופתיות עם תקופה # 2pi #, ולאחר מכן מן הזהות המקורית, # e ^ (itheta) # יהיה גם כן. אז יש לנו

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # איפה #k in ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # איפה #k in ZZ #

עם זאת, כאילו אנחנו ממשיכים להוסיף # 2pi # שוב ושוב, נגמור עם אותם ערכים, נוכל להתעלם מהערכים המיותרים על ידי הוספת ההגבלה # theta_0 ב 0, 2pi #, זה, #k ב- {0, 1, 2} #

לשים את כל זה ביחד, אנחנו מקבלים את הפתרון להגדיר

# (1) 3 (^ 3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) (i (theta + 4pi) / 3)} #

אנו עשויים להמיר את זה בחזרה # a + bi # אם תרצה להשתמש בזהות

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

החלת האמור לעיל על הבעיה בהישג יד:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

באמצעות התהליך לעיל, אנו יכולים למצוא את # 3 ^ "rd" # שורשי #אני#:

# i = (ipi / 2) => i ^ (1/3) ב e ei / 6, e ^ (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

הגשת בקשה # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # יש לנו

# i ^ (1/3) ב- {sqrt (3) / 2 + i / 2, sqrt (3) / 2 + i / 2, -i #

לבסוף, אנו מחליפים ערכים אלה עבור #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

(2) + 2 + i + 2) 1, 2 (-i) +1} (2)

# = {sqrt (3) + 1 + i, -qqrt (3) + 1 + i, 1-2i}