מצא f ו 'לחשב' את אינטגרל?

תשובה:

ראה למטה

הסבר:

# e ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z) = = int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

שימוש IV:

• # e ^ (C - x) = 1 (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x עד 0) y = + oo מרמז C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

ה הצג outube

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# 1-int_ (ln2) ^ 1 1 + x dx-color (אדום) (int_ ln2) ^ 1 y dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

# 1 (y) n (1) (1) (1) (1) (1) (l)

(1) x 1 ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 + x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1 + x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

#implies אני lt ln (e-1) #

תשובה:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

עדיין לא יכולתי להוכיח את אי-השוויון, אבל מצאתי אי-שוויון חזק יותר.

הסבר:

תן #g (x) = e ^ (f (x)) # כך, באמצעות כלל שרשרת:

# g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

שים לב עכשיו כי:

#f (x) = ln (g (x)) #, לכן:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

החלפת המשוואה המקורית שיש לנו:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

וכפי ההגדרה #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

אשר ניתנים להפרדה:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

פירוק החבר הראשון באמצעות שברים חלקי:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g -1 / (g + 1) #

לכן:

#int (dg) / g-int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

שימוש במאפיינים של לוגריתמים:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

עכשיו לפתור עבור # גרם #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

ולבסוף:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

עכשיו:

# l (e (c)) ln (e (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

אנחנו יכולים לקבוע # c # מהתנאי:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

כפי ש:

# c (x-> 0) c -x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

אשר סופי אלא אם כן # c = 0 #.

לאחר מכן:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

חשבו עכשיו על האינטגרל:

(x + 1) dx # (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x /

כפי ש:

# (x - e + x + 1) / (e-x-1) ^ 2 x #

אנו יכולים לראות כי מרווח האינטגרציה הפונקציה היא בהחלט ירידה, ולכן הערך המקסימלי שלה #M# מתרחשת עבור # x = ln2 #:

(1 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) # #

לאחר מכן:

# 1 (x) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

# 1 (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

תשובה:

הנה עוד אחד

הסבר:

#a) #

# e ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 # # <= => ^ (* e ^ (- f (x)) #

# 1 + f '(x) e ^ (- f (x)) + e ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# - f (x) e ^ (- f (x)) = 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (e ^ (- f (x))) '= 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (1 + e ^ (- f (x)) '= 1 + e ^ (- f (x)) ## <=> ^ (x> 0) #

אז הנה # c ## in ## RR #, # 1 + e ^ (- f (x)) = ce ^ x #

• # (x (0) x (0) x (0) (x - 0)

ו # (x) 0 (x - 0) (- e - (f (x) + 1) = lim_ (xto0) ce ^ x # #<=>#

# c = 1 #

לכן, # 1 + e ^ (- f (x)) = e ^ x # #<=>#

#e ^ (- f (x)) = e ^ x-1 # #<=>#

# -f (x) = ln (e ^ x-1) # #<=>#

#f (x) = - ln (e ^ x-1) # #color (לבן) (aa) #, #x> 0 #

#b) #

# int_ln2 ^ 1 (e ^ f (x) (x + 1) dx <#ln (e-1) #

#f (x) = - ln (e ^ x-1) #,#x> 0 #

#f '(x) = - e ^ x / (e ^ x-1) #

# (x) = = e ^ x / (e ^ x-1)> = (x + 1) / (e ^ x-1) # בלי ה ''#=#''

• # int_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx # #<=>#

# int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (e ^ x-1) dx <# - f (x) _ ln2 ^ 1 = -f (1) + f (0) = ln (e-1) #

עם זאת יש לנו

(x + 1) = (x + 1) (e ^ x-1) # e ^ x (1)

ולכן, # int_ln2 ^ 1 (x + 1) e ^ f (x) dx <#ln (e-1) #