מהי הנגזרת של x ^ n?

עבור הפונקציה #f (x) = x ^ n #, צריך לא שווה 0, מסיבות שיהיו ברורות. n צריך להיות גם מספר שלם או מספר רציונלי (כלומר חלק).

הכלל הוא:

#f (x) = x ^ n = = f '(x) = nx ^ (n-1) #

במילים אחרות, אנו "ללוות" את כוחו של x ולהפוך אותו מקדם נגזרת, ולאחר מכן להחסיר 1 מן הכוח.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = 1/2 * x ^ (1/2) # #

כפי שציינתי, המקרה המיוחד הוא n = 0. זה אומר ש

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

אנחנו יכולים להשתמש שלנו הכלל באופן טכני קבל את התשובה הנכונה:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

עם זאת, בהמשך המסלול, אנו נתקלים בסיבוכים כאשר ננסה להשתמש בהופך של כלל זה.

תשובה:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

להלן הוכחות עבור כל המספרים, אבל רק את ההוכחה עבור כל מספרים שלמים להשתמש מיומנויות בסיסיות של ההגדרה של נגזרים. ההוכחה לכל הרציונלים משתמשת כלל השרשרת עבור אי רציונלי להשתמש בידול מובחן.

הסבר:

עם זאת, אני אראה את כולם כאן, אז אתה יכול להבין את התהליך. היזהר מזה # will # להיות ארוך למדי.

מ #y = x ^ (n) #, אם #n = 0 # יש לנו #y = 1 # ואת הנגזרת של קבוע הוא אפס alsways.

אם # n # הוא כל מספר חיובי אחר שאנחנו יכולים לזרוק אותו הנוסחה הנגזרת ולהשתמש במשפט binomial כדי לפתור את הבלגן.

#y = lim_ (h rarr 0) (x + h) ^ n - x ^ n) / h #

(x = n =) (n = i) h = i) - x = n) / x #

איפה # K_i # הוא קבוע

#y = lim_ (r r 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

מחלק את זה # h #

# i = lim = (r r 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

אנחנו יכולים להוציא את המונח הראשון מהסכום

(i-1) # (i-1) # i = 2) ^ n =

אם ניקח את הגבול, כל השאר עדיין בסכום הולך לאפס. חישוב # K_1 # אנו רואים כי זה שווה # n #, לכן

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

ל # n # כי הם מספרים שליליים שליליים זה קצת יותר מסובך. בידיעה ש # x ^ -n = 1 / x ^ b #, כך ש #b = -N # ולכן הוא חיובי.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b #

(x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b) # # (= r = 0)

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

# (= r = 0) (= - =) =) = (=) = (= (=

קח את הקדנציה הראשונה

# (= r = 0) (= - K_1x ^ (b-1) - (x = b) x = h) ^ b)) #

קח את הגבול, איפה # K_1 = b #, משנה את זה בחזרה # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

עבור רציונליות אנחנו צריכים להשתמש כלל שרשרת. א.: # (f (g (x)) ^ ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

אז, בידיעה # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # ובהנחה #n = 1 / b # יש לנו

# (x ^ n) ^ b = x #

אם # b # היא גם התשובה טכנית # | x | # אבל זה קרוב מספיק למטרות שלנו

אז, באמצעות הכלל שרשרת יש לנו

# (x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

ואחרון אחרון חביב, באמצעות הבחנה מובחנת אנו יכולים להוכיח עבור כל המספרים הממשיים, כולל אי-רציונליות.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #