מהי הנגזרת של x ^ x?

תשובה:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

הסבר:

יש לנו:

# y = x ^ x # בואו ניקח את היומן הטבעי משני הצדדים.

#ln (y) = ln (x ^ x) # באמצעות העובדה כי #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # להגיש מועמדות # d / dx # בשני הצדדים.

# d> dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

כלל השרשרת:

אם #f (x) = g (h (x)) #, לאחר מכן #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

כלל צריכת חשמל:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # אם # n # הוא קבוע.

כמו כן, # d / dx (lnx) = 1 / x #

לבסוף, כלל המוצר:

אם #f (x) = g (x) * h (x) #, לאחר מכן (x) x (x) * h (x) + g (x) * h (x) #

יש לנו:

# d = d / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + ביטול * 1 / ביטול #

(אל תדאג מתי # x = 0 #, כי #ln (0) # אינו מוגדר)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

עכשיו, מאז # y = x ^ x #, אנחנו יכולים להחליף # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #