פתרון e ^ x-lnx <= e / x?

תשובה:

אז הפתרון של אי השוויון הזה עושה את זה נכון #x ב- (0.1) #

הסבר:

לשקול #f (x) = e ^ x-lnx-e / x #,יש לנו

#f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 #

טוענים כי #f '(x)> 0 # עבור כל X אמיתי לסיום לציין את זה #f (1) = 0 #

#f (1) = e-ln1-e = 0 #

לשקול את הגבול של F כמו x הולך 0

#lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x #

#lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo #

במילים אחרות, על ידי הצגת #f '(x)> 0 # אתה מראה כי הפונקציה היא בהחלט הגדלת, ואם #f (1) = 0 # זה אומר ש #f (x) <0 #

ל #x <1 # כי הפונקציה תמיד צומחת.

מההגדרה של # lnx #

# lnx # מוגדר לכל #x> 0 #

מההגדרה של # e ^ x #

# e ^ x # מוגדר לכל #x> = 0 #

אבל # e / x = e / 0 # לא מוגדר

אז הפתרון של אי השוויון הזה עושה את זה נכון #x ב- (0.1) #