איך אתה מוצא את השטח של מקבילית עם קודקודים?

תשובה:

עבור מקבילית #א ב ג ד# השטח הוא

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

הסבר:

נניח כי המקבילה שלנו #א ב ג ד# מוגדר על ידי הקואורדינטות של ארבעת הקודקודים שלו - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

כדי לקבוע את השטח של מקבילית שלנו, אנחנו צריכים את אורך הבסיס שלה # | AB | # ואת הגובה # | DH | # מקודקוד # D # להצביע # H # בצד # AB # (זה, #DH_ | _AB #).

קודם כל, כדי לפשט את המשימה, בואו להעביר אותו למצב כאשר קודקודו # A # עולה בקנה אחד עם מקור הקואורדינטות. האזור יהיה זהה, אבל החישובים יהיה קל יותר.

לכן, נבצע את השינוי הבא של קואורדינטות:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

אז ה (# U, V #) קואורדינטות של כל הקודקודים יהיה:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

מקביליתנו כעת מוגדרת על ידי שני וקטורים:

# p = (U_B, V_B) # ו # q = (U_D, V_D) #

קביעת אורך הבסיס # AB # כמו אורך של וקטור # p #:

# | | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

אורך הגובה # | DH | # יכול לבוא לידי ביטוי # | AD | * * חטא (/ _ BAD) #.

האורך # AD # הוא אורך של וקטור # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

זווית # / _ BAD # ניתן לקבוע באמצעות שתי ביטויים למוצר סקלארי (נקודה) של וקטורים # p # ו # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

שממנו

# # (#) # cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# חטא ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

עכשיו אנחנו יודעים את כל הרכיבים כדי לחשב את השטח:

בסיס # | | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

גובה # | DH | = = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

האזור הוא המוצר שלהם:

#S = | AB | * | DH | | | U_B * V_D-V_B * U_D | #

במונחים של קואורדינטות מקוריות, זה נראה כך:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

תשובה:

דיון נוסף

הסבר:

הוכחה גיאומטרית

בהתחשב בדמות

אנו יכולים בקלות להקים את הנוסחה לחישוב השטח של מקבילית ABCD, כאשר כל שלוש הקודקודים (אומרים A, B, D) ידועים.

מאז BD אלכסוני חוצה מקבילית לשני משולש חופף.

השטח של מקבילית ABCD

= 2 שטח משולש עבד

= 2 שטח של טרפזיום BAPQ + שטח של מלכודת BQRD - שטח של מלכודת DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + ביטול (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D ביטול (Y_DX_D) + ביטול (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

נוסחה זו תיתן את האזור של מקבילית.

הוכחה בהתחשב וקטור

זה גם יכול להיות שקול בהתחשב #vec (AB) # ו# vec (AD) #

עכשיו

מיקום וקטור של נקודה א w.r, לא מוצא O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahat #

מיקום וקטור של נקודה ב w.r, לא מוצא O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhat #

מיקום וקטור של נקודה ד 'w.r, לא מוצא O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

עכשיו

שטח מקבילית ABCD

# = Base (AD) * גובה (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

שוב

# oc (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hat #

# oc (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hat #

#vec (AD) #איקס# (x_B-X_A) (X_B-X_A) (Y_B-Y_A)

שטח 49 # | vec (AD) #איקס#vec (AB) |

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + ביטול (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B ביטול (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

כך יש לנו את אותה הנוסחה

שני צדדים מנוגדים של מקבילית יש אורך של 3. אם בפינה אחת של מקבילית יש זווית של pi / 12 ואת מקבילית של האזור הוא 14, כמה זמן שני הצדדים האחרים?

בהנחה קצת טריגונומטריה בסיסית ... תן x להיות אורך (משותף) של כל צד לא ידוע. אם b = 3 הוא מדד הבסיס של מקבילית, תן להיות גובה אנכי שלה. השטח של המקבילן הוא bh = 14 מאז b ידוע, יש לנו h = 14/3. מ טריג בסיסי, חטא (pi / 12) = h / x. אנו עשויים למצוא את הערך המדויק של סינוס באמצעות או חצי זווית או נוסחה ההבדל. חטא (pi / 12) = חטא (pi / 3) חטא (pi / 4) = (sqrt6 - sqrt2) / 4. (4) - 4 (14/3) x (sqrt6 - sqrt2) = 56 / h = xx (sqrt6 - sqrt2) = 4h תחליף את הערך של h: x (sqrt6 - sqrt2) = 4 (14/3) x = 3) (sqrt6 - sqrt2) אם נחייב שהתשובה תהיה רציונלית: x = 56 / (3 (sqrt6 - sqrt2)) * ((sqrt6 + sqrt2) / 6) (4)) = (4)) = (4)) = (4)) = (אם י

מהו השטח של מקבילית עם קודקודים (-2,1), (4,1), (3-2) ו (-3-2)? הצג עבודה.

6 * 3 = 18 A = (-2, 1), B = (4, 1) Rightarrow | AB = 6 = 1 = 2 + 3 ^ 2 = 10 D = (-3, -2) Rightarrow | CD | = 6, = DA = ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 10 ABCD הוא אכן paralelogram Rightarrow Area = CD | * h AB: y = 1 CD: y = -2 h = dist (A, CD) = 3

איך אתה מוצא את השטח של המלבן עם קודקודים A (-3,0), B (-2, -1), C (1,2), D (0,3)?

שטח = 6 יחידות מרובע שטח = (1) * (x) * x = y * x * x_b * y_c + x_c * y_d + x_d * y_a-x_b * y_a-x_c * y_b- x_d * y_c-x_a * y_d) שטח = 1 (1) (2) (+) (+) (+) (+) (+) (2) + (1) (3) +0 (0) - ) + (3) -3) שטח = (1/2) * (6-4 - (10)) שטח = 6 שיהיה לך יום יפה !! מהפיליפינים ...