תן G היא קבוצה מחזורית ו- G = 48. איך למצוא את כל תת קבוצה של G?

תשובה:

תת-הקבוצות הן מחזוריות, כאשר ההזמנות מתחלקות #48#

הסבר:

כל קבוצות המשנה של קבוצה מחזורית הן עצמן מחזוריות, עם פקודות שהן מחלקי סדר הקבוצה.

לראות למה, נניח # G = <a> # הוא מחזורי עם הסדר # N # ו #H sube G # היא תת קבוצה.

אם # a ^ m ב- H # ו # a ^ n ב- H #, אז גם כן # a ^ (pm + qn) # עבור כל מספר שלם #p, q #.

לכן # a ^ k ב- H # איפה #k = GCF (m, n) # ושניהם # a ^ m # ו # a ^ n # נמצאים # <a ^ k> #.

בפרט, אם # a ^ k ב- H # עם #GCF (k, N) = 1 # לאחר מכן #H = <a> = G #.

גם לא כי אם #mn = N # לאחר מכן # <a ^ m> # היא תת קבוצה של # G # עם הזמנה # n #.

אנו יכולים להסיק:

• # H # יש לא יותר #1# גנרטור.
• סדר # H # הוא גורם של # N #.

בדוגמה שלנו #N = 48 # ו subgroups הם isomorphic ל:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

להיות:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #