מעגל יש מרכז שנופל על הקו y = 7 / 2x +3 ועובר (1, 2) ו (8, 1). מהי משוואת המעגל?

תשובה:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

הסבר:

נקודה א #(1,2)# ו נקודה ב #(8,1)# חייב להיות אותו מרחק (רדיוס אחד) ממרכז המעגל

זה שקרים על קו של נקודות (L) כי הם כל מרחק רחוק מ- A ו- B

הנוסחה לחישוב המרחק (ד) בין שתי נקודות (מ pythagorus) הוא # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

תחליף במה שאנו יודעים לנקודה א ונקודה שרירותית על L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

תחליף במה שאנו יודעים לנקודה ב 'ונקודה שרירותית על L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

לכן

# 2 (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 =

הרחב את הסוגריים

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4 + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

לפשט

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

נקודת המרכז נמצאת על הקו #y = 7x - 30 # (קבוצת הנקודות שוות המרחק בין A ו- B)

ועל הקו #y = 7x / 2 + 3 # (נתון)

לפתור איפה אלה שתי שורות לחצות כדי למצוא את מרכז המעגל

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

תחליף #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

מרכז המעגל הוא ב #(66/7, 36)#

ניתן כעת לחשב את הרדיוס המרובע של המעגל כ-

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

הנוסחה הכללית למעגל או לרדיוס # r # J

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # עם מרכז בשעה h, k

עכשיו אנחנו יודעים # h #, # k # ו # r ^ 2 # והוא יכול להחליף אותם לתוך המשוואה הכללית של המעגל

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

הרחב את הסוגריים

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

ופשוט

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #