כיצד לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית הניתנת להפריד ולמצוא את הפתרון המסוים המספק את המצב ההתחלתי y (-4) = 3?

תשובה:

פתרון כללי: #color (אדום) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "#

פתרון מיוחד: #color (כחול) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

הסבר:

מהמשוואה הדיפרנציאלית הנתונה #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

שימו לב לכך #y '(x) = dy / dx # ו #y (x) = y #, ולכן

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

לחלק את שני הצדדים על ידי #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

הכפל את שני הצדדים על ידי # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dx (dx) * dy (dx) (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

independent # dx # בצד שמאל

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

שילוב בשני הצדדים יש לנו את התוצאות הבאות

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / (1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (אדום) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "#פתרון כללי

אבל #y (-4) = 3 # פירושו מתי # x = -4 #, # y = 3 #

עכשיו אנחנו יכולים לפתור # C_1 # כדי לפתור את הפתרון בפרט

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4) 3 +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

לכן, הפתרון המסוים שלנו הוא

#color (כחול) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

אלוהים יברך … אני מקווה שההסבר שימושי.

תשובה:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #, עם #y> = - 13/4 #.

הסבר:

#y> = - 13/4 #, לעשות #sqrt (4y + 13) # אמיתי..

סידור מחדש, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) # #

לכן, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

שימוש #y = 3, כאשר x = -4, C = -`13 / 2 #

לכן. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) # #

לעומת זאת. #y = (1/4) (2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #