מהו הפתרון הכללי למשוואה הדיפרנציאלית? Y - 44 + 4 = 0 =?

# "משוואה אופיינית היא: # #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "דיסק של המרובע. eq = 1 - 16 = -15 <0" #

# "אז יש לנו שני פתרונות מורכבים, הם" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "אז הפתרון הכללי של המשוואה הומוגנית היא:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) # #

# X + 2) x / 2 () x / 2 (c / x) 2 / c () x /

# "הפתרון המסוים למשוואה המלאה הוא # #

# "y = x", #

# "זה קל לראות". #

# "אז הפתרון המלא הוא:" #

(x) (x / 2) חטא (x) (x / 2) (x / 2)

תשובה:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

הסבר:

יש לנו:

# y '' '- y' '44y'-4 = 0 #

לחלופין,

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

זה שלישית סדר משוואות ליניאריות לא-הומוגניות של התמיינות עם מקדמי קבועים. הגישה הסטנדרטית היא למצוא פתרון, #ג y# של המשוואה ההומוגנית על ידי הסתכלות על משוואת העזר, שהיא המשוואה הפולינומית עם מקדמי הנגזרות, ולאחר מכן מציאת פתרון מסוים עצמאי, # y_p # של המשוואה הלא הומוגנית.

שורשי משוואת העזר קובעים חלקים מהפתרון, אשר אם הם עצמאיים באופן ליניארי, הרי שסופרפוזיציה של הפתרונות מהווה את הפתרון הכללי.

• שורשים נפרדים # m = אלפא, ביטא, … # יניב פתרונות עצמאיים באופן ליניארי של הטופס # y_1 = Ae ^ (alphax) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• שורשים חוזרים אמיתיים # m = alpha #, יניב פתרון של הטופס # y = (Ax + B) e ^ (אלפאקס) # שבו פולינום יש את אותה מידה כמו לחזור.
• שורשים מורכבים (אשר חייבים להתרחש כזוגות מצומדות) # m = p + -qi # תניב זוגות פתרונות עצמאיים ליניארי של הטופס # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx) # #

פתרון מיוחד

על מנת למצוא פתרון מסוים למשוואה הלא הומוגנית:

# y '' '- y' '4y' = f (x) # עם #f (x) = 4 # ….. C

אז כ #f (x) # הוא פולינום של התואר #0#, היינו מחפשים פתרון פולינומי באותה מידה, כלומר של הטופס #y = a #

עם זאת, פתרון כזה כבר קיים בפתרון CF ולכן צריך לשקול פתרון אפשרי של הטופס # y = ax #, איפה הקבועים # a # ייקבע על ידי החלפה ישירה והשוואה:

מבדיל # y = ax # וורט #איקס# אנחנו מקבלים:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

החלפת תוצאות אלה לתוך DE A אנו מקבלים:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

וכך אנו יוצרים את הפתרון המיוחד:

# y_p = x #

פתרון כללי

אשר לאחר מכן מוביל GS של A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = + E ^ (1 / 2x) {bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

הערה פתרון זה יש #3# קבועים של אינטגרציה #3# פתרונות עצמאיים ליניאריים, ומכאן על ידי קיום וייחודיות משפט שלהם סופרפוזיציה היא הפתרון הכללי