מהו הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

תשובה:

הפתרון הכללי הוא:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

הסבר:

יש לנו:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

אנו יכולים לאסוף מונחים עבור משתנים דומים:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

שהוא נפרדת מסדר ראשון משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית רגילה, אז אנחנו יכולים "להפריד בין המשתנים" להשיג:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

שני האינטגרלים הם אלה של פונקציות סטנדרטיות, כך שאנחנו יכולים להשתמש בידע זה כדי לשלב ישירות:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

ואנחנו יכולים בקלות מחדש עבור # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

המוביל לפתרון הכללי:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

תשובה:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

הסבר:

זוהי משוואה דיפרנציאלית הניתנת להפרדה, ופירוש הדבר שניתן לכתוב אותה בצורה:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

ניתן לפתור אותה על ידי שילוב שני הצדדים:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

במקרה שלנו, תחילה עלינו להפריד את האינטגרל לצורה הנכונה. אנחנו יכולים לעשות זאת על ידי חלוקת שני הצדדים על ידי # (y-1) ^ 2 #:

# (dy / dt * 1) (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) # #

# dy / dt * 1 (y-1) ^ 2 = e ^ t #

עכשיו אנחנו יכולים לשלב את שני הצדדים:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

אנחנו יכולים לפתור את יד שמאל עם החלפת # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Resubstituting (ושילוב קבועים) נותן:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

הכפל את שני הצדדים על ידי # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

מחלקים את שני הצדדים # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #