מה ההבדל בין משפט הערך הבינוני לבין משפט הערך האקסטרים?

תשובה:

ערך הביניים ערך (IVT) אומר פונקציות רציפות על מרווח # a, b # לקבל על כל הערכים (ביניים) בין הקצוות שלהם. משפט הערך האקסטרמי (EVT) אומר פונקציות רציפות # a, b # להגיע לערכים הקיצוניים שלהם (גבוה ונמוך).

הסבר:

הנה הצהרה של EVT: תן # f # להיות רציף ב # a, b #. אז יש מספרים # c, d in a, b # כך ש #f (c) leq f (x) leq f (d) # לכולם #x ב- a, b #. נאמר אחרת, "העליונות" #M# ו "מינימלי" #M# של הטווח # {f (x): x in a, b } # (הם סופיים) ויש מספרים # c, d in a, b # כך ש #f (c) = m # ו #f (d) = M #.

שים לב לפונקציה # f # חייב להיות מתמשך # a, b # עבור המסקנה להחזיק. לדוגמה, אם # f # היא פונקציה כזאת #f (0) = 0.5 #, #f (x) = x # ל #0<>, ו #f (1) = 0.5 #, לאחר מכן # f # לא מגיע ערך מקסימלי או מינימלי #0,1#. (העליונות והאינפוזיה של הטווח קיימים (הם 1 ו -0, בהתאמה), אבל הפונקציה לעולם לא משיגה (לעולם לא שווה) ערכים אלה.)

שים לב גם כי מרווח חייב להיות סגור. הפונקציה #f (x) = x # לא מגיע ערך מקסימלי או מינימלי על מרווח פתוח #(0,1)#. (שוב, העליונות והאינפוזיה של הטווח קיימים (הם 1 ו -0, בהתאמה), אך הפונקציה לעולם לא משיגה (לעולם לא שווה) ערכים אלה).

הפונקציה #f (x) = 1 / x # גם לא מגיע ערך מקסימלי או מינימום על מרווח פתוח #(0,1)#. יתר על כן, העליונות של הטווח אפילו לא קיים מספר סופי (זה "אינסוף").

הנה הצהרה של IVT: תן # f # להיות רציף ב # a, b # ונניח #f (a)! = f f (b) #. אם # # הוא כל מספר בין #f (a) # ו #f (b) #, אז יש מספר #c ב- (a, b) # כך ש #f (c) = v #. יתר על כן, אם # # הוא מספר בין העליונות לאין-ספור של הטווח # {f (x): x in a, b} #, אז יש מספר #c ב- a, b # כך ש #f (c) = v #.

אם אתה מצייר תמונות של פונקציות שונות רציפה, זה די ברור למה # f # צריך להיות רציף עבור IVT להיות אמיתי.