מהו הגבול של (1+ (4 / x)) ^ x x מתקרב לאינסוף?

תשובה:

# e ^ 4 #

הסבר:

שים לב להגדרה הבינומית עבור מספר אוילר:

# 1 (x 1) x (= 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) (1 / x) #

כאן אני אשתמש # x-> oo # הגדרה.

בנוסחה זו, תן # y = nx #

לאחר מכן # 1 / x = n / y #, ו # x = y / n #

מספר אוילר מתבטא בצורה כללית יותר:

# e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) #

במילים אחרות, # e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y #

מאז # y # הוא גם משתנה, אנחנו יכולים להחליף #איקס# במקום של # y #:

# e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x #

לכן, מתי # n = 4 #, #lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 #