שאלה # 242a2

תשובה:

עבור האנרגיה המאוחסנת בקבל בזמן # t # יש לנו #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # איפה #E (0) # הוא האנרגיה הראשונית, # C # היכולת ו # R # ההתנגדות של החוט המחבר בין שני הצדדים של הקבל.

הסבר:

נסקור תחילה כמה מושגי ליבה לפני שנענה לשאלה זו. כמובן שאנחנו צריכים לדעת את האנרגיה המאוחסנת בקבל, או ליתר דיוק את האנרגיה המאוחסנת בשדה חשמלי שנוצר על ידי המטען המאוחסן בקבל. בשביל זה יש לנו את הנוסחה # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # עם # C # את היכולת של הקבל ו # Q # את האחסון מאוחסן על אחד לוחות קבלים. 1

אז כדי לדעת איך האנרגיה יורדת, אנחנו צריכים לדעת איך המטען פוחת. בשביל זה יש כמה דברים שאנחנו צריכים לזכור. הדבר הראשון הוא, כי החיוב יכול רק ירידה אם זה יכול ללכת לכל מקום. התרחיש הפשוט ביותר הוא כי שתי צלחות מחוברים באמצעות חוט, כך צלחות יכול להחליף את המטען כך שהם יהיו ניטרליים. הדבר השני הוא שאם היינו מניחים את החוט אין התנגדות, המטען יוכל לזוז באופן מיידי, כך האנרגיה תיפול לאפס בשיעור זה גם כן. מאז זה מצב משעמם, וחוץ מזה, לא ממש מציאותי, אנו מניחים את החוט יש התנגדות כלשהי # R #, אשר אנו יכולים מודל על ידי חיבור לוחות קבלים באמצעות נגד עם התנגדות # R # באמצעות התנגדות פחות חוטים.

מה שיש לנו עכשיו הוא שנקרא מעגל RC, ראה להלן. על מנת לברר כיצד השינויים המאוחסנים משתנה, אנחנו צריכים לרשום כמה משוואה דיפרנציאלית. אני לא בטוח איך הקורא בקיאים במתמטיקה, אז אנא יידע אותי אם הקטע הבא אינו ברור לך, ואני אנסה להסביר את זה בפירוט רב יותר.

קודם כל אנו מציינים כי כאשר אנו הולכים לאורך החוט, אנו חווים שני קפיצות פוטנציאל חשמלי (מתח), כלומר על הקבל ועל הנגד. קפיצות אלה ניתנות על ידי # DeltaV_C = Q / C # ו # DeltaV_R = IR # בהתאמה 1. אנו מציינים כי בתחילה אין זרם, ולכן ההבדל הפוטנציאלי על הנגד הוא 0, עם זאת, כפי שנראה, יהיה זרם כאשר החיובים מתחילים לזוז. עכשיו אנו מציינים כי כאשר אנו מסתובבים במעגל החל מנקודה אחת, אנחנו נגיע שוב באותה נקודה, כי אנחנו במעגל. בנקודה אחת זו הפוטנציאל הוא זהה בשתי הפעמים, משום שזו אותה נקודה. (כאשר אני אומר שאנחנו הולכים לאורך המעגל, אני לא מתכוון לזה פשוטו כמשמעו, אלא אנחנו בודקים את קפיצות המתח על המעגל בנקודה אחת בזמן, ולכן לא עובר זמן בעת הליכה לאורך המעגל, ולכן הטענה גורסת, גם אם השינויים במתח בזמן.)

משמעות הדבר היא שהקפיצה הפוטנציאלית הכוללת היא אפס. לכן # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. עכשיו אנחנו חושבים על מה #אני#, הנוכחי הוא. הנוכחי הוא העברת תשלום, זה לוקח תשלום חיובי הרחק צלחת קבלים אחת מספקת לשני. (למעשה רוב הזמן זה להיפך, אבל זה לא משנה עבור המתמטיקה של בעיה זו.) משמעות הדבר היא כי הנוכחי שווה את השינוי תשלום על צלחות, במילים אחרות # I = (dQ) / dt #. החלפת זה במשוואה לעיל נותן לנו # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, אשר אומר # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. זוהי משוואה ליניארית מה שנקרא הסדר הראשון. זה מכתיב את השינוי בהאשמה על ידי הערך של תשלום באותו זמן באופן ליניארי, כלומר אם המטען היה גדול פי שניים, השינוי אחראי יהיה גם גדול פי שניים. אנחנו יכולים לפתור את המשוואה הזאת על ידי שימוש חכם של חצץ.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, אנחנו מניחים # Qne0 #, אשר הוא לא בתחילה, וכפי זה יתברר, זה לא יהיה. באמצעות זה אנו יכולים לומר # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) # #. לדעת # Q # בשלב מסוים בזמן # t # (במילים אחרות #Q (t) #, אנו משלבים את המשוואה כדלקמן: (dt 't') (dQ ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= t / (CR) # # מאז # C # ו # R # הם קבועים. (d) (dQ ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln (Q (t)) / (Q (0))) # באמצעות שינוי במשתנים. זה אומר # (n) (q (t)) / (Q (0)) = - t / (CR) # #, לכן #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

לבסוף אנחנו צריכים להחליף את זה בחזרה במשוואה עבור האנרגיה:

# E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

אז האנרגיה נופלת באופן אקספוננציאלי לאורך זמן. ואכן אנו רואים כי אם # R # היו הולכים לאפס, #E (t) # היה הולך 0 מיד.

1 Griffiths, David J. מבוא לאלקטרודינמיקה. גרסה רביעית. Pearson Education Limited, 2014