מה הם extrma המקומית, אם בכלל, של f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

תשובה:

#(0.14414, 0.05271)# הוא המקסימום המקומי

#(1.45035, 0.00119)# ו #(-1.59449, -1947.21451)# הם המינימום המקומי.

הסבר:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

זה אינו זכאי כקצין מקומי.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

כדי לפתור את השורשים של פונקציה מעוקבת זו, אנו משתמשים בשיטת ניוטון-רפסון:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

זהו תהליך איטרטיבי שייקח אותנו קרוב יותר אל שורש הפונקציה. אני לא כולל את התהליך הארוך כאן אבל לאחר שהגיע לשורש הראשון, אנחנו יכולים לבצע חלוקה ארוכה לפתור את הריבוע הנותר בקלות עבור שני השורשים האחרים.

נקבל את השורשים הבאים:

# x = 0.14414, 1.45035 ו- -1.59449 #

כעת אנו מבצעים בדיקה נגזרת ראשונה ומנסים ערכים מימין ומשמאל לכל שורש כדי לראות היכן הנגזרת חיובית או שלילית.

זה יגיד לנו איזו נקודה היא מקסימום ומי מינימום.

התוצאה תהיה כדלקמן:

#(0.14414, 0.05271)# הוא המקסימום המקומי

#(1.45035, 0.00119)# ו #(-1.59449, -1947.21451)# הם המינימום המקומי.

תוכל לראות אחד מהמינימום בתרשים הבא:

התצוגה הבאה מציגה את המקסימום ואת המינימום האחר: