אקורד עם אורך של 12 פועל מ pi / 12 ל pi / 6 radians על מעגל. מהו שטח המעגל?

תשובה:

שטח המעגל הוא

# (= 36 =) / sin = 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt (2 + sqrt) 3 /) 4)

הסבר:

תמונה שלמעלה משקפת את התנאים שנקבעו בבעיה. כל הזוויות (מורחבות להבנה טובה יותר) נמצאות ברדיאנים המונים מציר ה- X האופקי # OX # נגד כיוון השעון.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

אנחנו צריכים למצוא רדיוס של מעגל כדי לקבוע את השטח שלו.

אנחנו מכירים את האקורד הזה # AB # יש אורך #12# וזווית בין רדיוסים # OA # ו # OB # (איפה # O # הוא מרכז של מעגל)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

לבנות גובה # OH # של משולש #Delta AOB # מקודקוד # O # לצד # AB #. מאז #Delta AOB # הוא isosceles, # OH # הוא חציון ו bisector זווית:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

חשבו על משולש ימין #Delta AOH #.

אנחנו מכירים את הקתוס הזה # AH = 6 # ואת זווית # / _ AOH = pi / 24 #.

לכן, hypotenuse # OA #, שהוא רדיוס של המעגל שלנו # r #, שווה ל

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

ברדיוס של ידע, אנו יכולים למצוא אזור:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin = 2 (pi / 24) #

בואו להביע את זה ללא פונקציות טריגונומטריות.

מאז

# sin = 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

אנו יכולים לבטא את האזור כדלקמן:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

זהות טריגונומטית נוספת:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2

לכן,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# 2 sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt (2 + sqrt (3)) / 4) # #

עכשיו אנחנו יכולים לייצג את האזור של מעגל כמו

# # = (72pi) / (1-sqrt (2 + sqrt (3)) / 4)) #

תשובה:

גישה אחרת התוצאה זהה

הסבר:

אקורד AB של אורך 12 בדמות לעיל פועל מתוך# pi / 12 # ל # pi / 6 # במעגל הרדיוס ייצור ומרכז O, נלקח כמקור.

# / _ AOX = pi / 12 # ו # / _ BOX = pi / 6 #

אז הקואורדינטה הקוטבית של A # = (r, pi / 12) # ואת זה של B # = (r, pi / 6) #

יישום נוסחת מרחק לקואורדינטות קוטביות

את אורך אקורד AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) # #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r = 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = ביטול 144 ^ 72 / (Cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# 1 = r = 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r = 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r = 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

אז השטח של המעגל

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt (2 + sqrt3) / 4) # #