איך אתה מוצא את הגבול של sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) כמו x גישות -oo?

תשובה:

לעשות קצת factoring להגיע #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

הסבר:

כאשר אנו מתמודדים עם מגבלות באינסוף, זה תמיד עוזר להביא בחשבון #איקס#, או # x ^ 2 #, או כל כוח של #איקס# מפשט את הבעיה. עבור אחד זה, בואו גורם החוצה # x ^ 2 # מן המונה ו #איקס# מהמכנה:

(x ^ - 2) (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# / (x (2 / x x)) #

כאן הוא מתחיל להיות מעניין. ל #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # הוא חיובי; עם זאת, עבור #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # הוא שלילי. במונחים מתמטיים:

#sqrt (x ^ 2) = ABS (x) # ל #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # ל #x <0 #

מאחר שאנו עוסקים במגבלה באינסוף שלילי, #sqrt (x ^ 2) # הופך #-איקס#:

# (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) # #

עכשיו אנחנו יכולים לראות את היופי של שיטה זו: יש לנו # 9 / x ^ 2 # ו # 6 / x #, אשר שניהם ילך #0# כפי ש #איקס# הולך לאינסוף שלילי:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) # #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #