איך אתה מוצא את הגבול של (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) כמו x מתקרב?

תשובה:

לעשות קצת factoring וביטול להגיע #x_ (xxl) (8x-14) / (sqx (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

הסבר:

בגבולות האינסוף, האסטרטגיה הכללית היא לנצל את העובדה כי #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. בדרך כלל זה אומר factoring החוצה #איקס#, וזה מה שאנחנו נעשה כאן.

בגין על ידי factoring א #איקס# מתוך המונה ו # x ^ 2 # מתוך המכנה:

# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49)) #

# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

הבעיה היא עכשיו עם #sqrt (x ^ 2) #. זה שווה ל #abs (x) #, שהיא פונקציה מחודשת:

# (x) = = (x, "for", x> 0), (- x, "עבור", x <0): #

מכיוון שמדובר במגבלה באינסוף חיובי (#x> 0 #), נחליף #sqrt (x ^ 2) # עם #איקס#:

# = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

עכשיו אנחנו יכולים לבטל את #איקס#s

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

ולבסוף לראות מה קורה #איקס# הולך ל # oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

כי #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, זה שווה ל:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#