תנו f: עלייה מוגדרת מ R ל R. למצוא את הפתרון של f (x) = f ^ -1 (x)?

תשובה:

# f (x) = x #

הסבר:

אנחנו מחפשים פונקציה #f: RR RR RR # כזה פתרון #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

זה אנחנו מחפשים פונקציה כי הוא שלה הפוך. פונקציה אחת ברורה זו היא הפתרון הטריוויאלי:

# f (x) = x #

עם זאת, ניתוח יסודי יותר של הבעיה היא מורכבת של מורכבות כפי שנחקרו על ידי Ng ווי לנג ו Ho Foo אותו כפי שפורסם בכתב העת של איגוד המורים למתמטיקה.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

תשובה:

בדוק להלן.

הסבר:

הנקודות המשותפות בין # C_f # ו #C_ (f ^ (- 1)) # אם הם קיימים הם לא תמיד ביסקטור # y = x #. הנה דוגמה לפונקציה כזו: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (לבן) (א) #, #איקס## in ## 0, + oo #

גרף {(y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

הם עם זאת bisector רק ורק אם # f # J # # הגדלת.

אם # f # הוא גדל אז בהחלט #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

אם # f # היא לא רק להגדיל את הנקודות המשותפות נמצאות על ידי פתרון מערכת המשוואות

# (y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""): # #<=># # (y = f (x) ""), (x = f (y) "):} # #<=>…#

תשובה:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

הסבר:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (לבן) (aa) #, #איקס## in ## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (לבן) (aa) #, #A ##איקס## in ## RR #

לכן # f # J # # in # RR #. כפונקציה מונוטונית לחלוטין היא גם "#1-1#"וכפונקציה אחת יש להופך.

אנחנו צריכים לפתור את המשוואה #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #