מה הוא הצילינדר הגדול ביותר של רדיוס, r ו- h גובה שיכול להתאים בתחום רדיוס, R?

תשובה:

הנפח המרבי של הצילינדר נמצא אם נבחר

# r = sqrt (2/3) R #, ו #h = (2R) / sqrt (3) #

בחירה זו מובילה לנפח צילינדר מקסימלי של:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

הסבר:

``

תארו לעצמכם חתך דרך במרכז הגליל, ותנו לצילינדר לגובה # h #, ואת עוצמת הקול # V #, אז יש לנו;

# h # ו # r # יכול להיות מגוונות # R # הוא קבוע. נפח הצילינדר ניתן על ידי הנוסחה הסטנדרטית:

# V = pir ^ 2h #

רדיוס הכדור, # R # הוא hypotenuse של המשולש עם הצדדים # r # ו # 1 / 2h #, כך באמצעות פיתגורס, יש לנו:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

אנחנו יכולים להחליף את זה לתוך המשוואה שלנו נפח לקבל:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

עכשיו יש לנו את עוצמת הקול, # V # כפונקציה של משתנה יחיד # h #, אשר אנו מבקשים למקסם wrt # h # כל כך מבדיל # h # נותן:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

לכל הפחות או מקסימום, # (dV) / (dh) = 0 # לכן:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. " h = sqrt (4/3 R ^ 2)" "# (ברור שאנחנו רוצים te + השורש)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

עם ערך זה של # h # אנחנו מקבלים:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

אנחנו צריכים לבדוק כי ערך זה מוביל נפח מקסימלי (ולא מקסימום), אנחנו עושים זאת על ידי הסתכלות על הנגזרת השנייה:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

וכמו #h> 0 # אנו מסיקים זאת # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # ושהנקודה הקריטית מזוהה עד למקסימום.

לפיכך, הנפח המרבי של הצילינדר נמצא אם נבחר

# r = sqrt (2/3) R #, ו #h = (2R) / sqrt (3) #

עם בחירה זו אנו מקבלים את נפח מקסימלי כמו;

# (= R = 2 (2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi (2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi (8R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

וכמובן את נפח של כדור ניתנת על ידי:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

זוהי בעיה מפורסמת מאוד, כי נלמד על ידי מתמטיקאים יוונית הרבה לפני שהתגלו חצץ. מאפיין מעניין הוא היחס בין נפח הגליל לבין נפח הכדור:

# (3 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) # / V_s = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)

במילים אחרות, היחס בין הכרכים הוא בלתי תלוי לחלוטין # R #, # r # או # h # אשר בהחלט תוצאה מדהימה!