מהי צורת הקודקוד של 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

תשובה:

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

הסבר:

ראשית, קבל את המשוואה לצורה האופיינית שלה על ידי חלוקת שני הצדדים על ידי #7#.

# y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

עכשיו, אנחנו רוצים לקבל את זה לתוך קודקוד טופס:

# y = a (x-h) ^ 2 + k #

ראשית, גורם #-13/7# מתוך שני המושגים הראשונים. שים לב כי factoring א #-13/7# מ מונח הוא זהה הכפלת המונח על ידי #-7/13#.

# y = -13 / 7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

עכשיו, אנחנו רוצים את המונח בסוגריים להיות ריבוע מושלם. ריבועים מושלמים באים בדפוס # (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #.

הנה, טווח הביניים # 15 / 13x # הוא טווח הביניים של trinomial מרובע מושלם, # 2ax #. אם אנחנו רוצים לקבוע מה # a # הוא, לחלק # 15 / 13x # על ידי # 2x # לראות את זה # a = 15/26 #.

משמעות הדבר היא כי אנו רוצים להוסיף את המונח החסר בסוגריים כדי להפוך את הקבוצה שווה # (x + 15/26) ^ 2 #.

# (+ + 15/26) ^ 2 + + 2/7 # # = = / 3 / 7overbrace (x ^ 2 + 15 / 13x +)

המושג החסר בסוף trinomial מרובע מושלם הוא # a ^ 2 #, ואנחנו יודעים את זה # a = 15/26 #, לכן # a ^ 2 = 225/676 #.

עכשיו אנחנו מוסיפים #225/676# למונחים בסוגריים. עם זאת, אנחנו לא יכולים ללכת הוספת מספרים למשוואות willy-nilly. עלינו לאזן את מה שהוספנו זה עתה באותו צד של המשוואה. (לדוגמה, אם היינו מוסיפים #2#, היינו צריכים להוסיף #-2# לאותו צד של המשוואה עבור שינוי נטו של #0#).

# y = color (כחול) (- 13/7) (x ^ 2 + 15 / 13x + צבע (כחול) (225/676)) + 2/7 + צבע (כחול)? #

שימו לב שלא הוספנו #225/676#. מכיוון שהיא נמצאת בתוך הסוגריים, המונח מבחוץ הוא כפול #225/676# למעשה יש ערך של

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

מאז הוספנו למעשה #-225/364#, עלינו להוסיף חיובי #225/364# לאותו צד.

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

שים לב ש #2/7=104/364#, לכן

#color (אדום) (y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

זה בצורת קודקוד, שם קודקוד של פרבולה הוא ב # (h, k) -> (- 15 / 26,329 / 364) #.

אנחנו יכולים לבדוק את העבודה שלנו על ידי גרף פרבולה:

גרף {7y = 13x ^ 2 -15x + 2 -4.93, 4.934, -2.466, 2.466}

שים לב ש #-15/26=-0.577# ו #329/364=0.904#, שהם הערכים המתקבלים על ידי לחיצה על קודקוד.