מהן דוגמאות לסדרות מתכנסות?

תשובה:

הנה שלוש דוגמאות משמעותיות …

הסבר:

סדרה גיאומטרית

אם #abs (r) <1 # אז סכום הסדרה הגיאומטרית #a_n = r r = n a_0 # הוא מתכנס:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

פונקציה מעריכית

הסדרה מגדירה # e ^ x # הוא מתכנס עבור כל ערך של #איקס#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

כדי להוכיח זאת, עבור כל נתון #איקס#, תן # N # להיות מספר שלם גדול מ #abs (x) #. לאחר מכן #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # מתכנס מכיוון שהוא סכום סופי #sum_ (n = N 1) ^ oo x ^ n / (n!) # מתכנס מאז הערך המוחלט של היחס בין מונחים רצופים הוא פחות #abs (x) / (N + 1) <1 #.

בעיה באזל

הבעיה באזל, שהוצב בשנת 1644 ו נפתרה על ידי אוילר בשנת 1734 ביקש את הערך של סכום של גומלין של ריבועים של מספרים שלמים וחיוביים:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #