נניח שיש מרטין & n Earthlings בכנס שלום. כדי להבטיח שהמאדים יישארו שלווים בכנס, עלינו לוודא שאף שני מאדים לא יושבים יחד, כך שבין כל שני מאדים יש לפחות ארצית אחת (ראה פירוט)

תשובה:

א) # (n) (n + 1)!) / ((n-m + 1)! #

ב) # (n!) (n-1)!) / ((n-m)! #

הסבר:

בנוסף כמה חשיבה נוספת, נשתמש שלוש טכניקות נפוץ לספור.

ראשית, נשתמש בעובדה כי אם יש # n # דרכים לעשות דבר אחד #M# דרכים לעשות אחרת, ולאחר מכן בהנחה המשימות הן עצמאיות (מה שאתה יכול לעשות עבור אחד לא להסתמך על מה שעשיתם את השני), יש # ננומטר # דרכים לעשות את שניהם. לדוגמה, אם יש לי חמש חולצות ושלושה זוגות מכנסיים, אז יש #3*5=15# אני יכול לעשות.

שנית, נשתמש במספר הדרכים של ההזמנה # k # אובייקטים #k! #. הסיבה לכך היא שיש # k # דרכים לבחור את האובייקט הראשון, ולאחר מכן # k-1 # דרכים לבחור את השני, וכן הלאה וכן הלאה. לכן המספר הכולל של דרכים הוא #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

לבסוף, נשתמש במספר הדרכים לבחירה # k # חפצים מתוך סט של # n # אובייקטים # (n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) (מבוטא n לבחור k). מתווה של איך להגיע לנוסחה זו ניתנת כאן.

א) אם אנו מתעלמים פיצולים בתחילה, יש #M!# דרכים להזמין את המאדים ואת #n! # דרכים להזמין את Earthlings. לבסוף, אנחנו צריכים לראות איפה מאדים ממוקמים. כמו כל מאדים צריך להיות ממוקם או על קצה או בין שני Earthlings, יש # n # 1 # מיקומים שהם יכולים לשבת (אחד משמאל לכל Earthling, ולאחר מכן עוד אחד בקצה הימני). כפי שיש #M# מאדים, זה אומר שיש # (n + 1), (m)) = (n + 1)!) / (m! (n + 1-m)! # דרכים אפשריות למקם אותם. לפיכך, סך כל הסדרי הישיבה האפשריים

(n + 1-m)! = n (n + 1)!) / (n-m + 1)! #

ב) בעיה זו דומה לאמור לעיל. כדי להפוך את הדברים לפשוטים יותר, בואו ניקח את כדור הארץ ותקרא לו את הנשיא. מכיוון שאין זה משנה כיצד מעגל מסתובב, במקום להתייחס לסדרי ישיבה המבוססים על הזמנה מוחלטת, נשקול סידורי ישיבה המבוססים על יחסיהם לנשיא.

בדיוק כמו לעיל, אם נתחיל מהנשיא ונמשיך בכיוון השעון סביב המעגל, נוכל לספור את מספר הדרכים להזמנת שאר הנוכחים. כפי שיש #M# מאדים ו # n-1 # הנותרים Earthlings, יש #M!# דרכים להזמין את המאדים ואת # (n-1) # # דרכים להזמין את שאר כדור הארץ.

הבא, אנחנו שוב צריכים למקם את המאדים. הפעם אין לנו מקום נוסף בסוף, ולכן יש רק # n # מיקומים שהם יכולים לשבת. אז יש # (n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)! # דרכים למקם אותם. לפיכך, סך כל הסדרי הישיבה האפשריים

# (n-1) m! (n!) / (m) (n-m)! = = (n!) (n-1)!) / (n-m)!)