איך לפתור את אי השוויון 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

תשובה:

#x <- 5/2 צבע (לבן) (xx) # # או #color (לבן) (xx) -1 <x <2 #

הסבר:

ראשית, שים לב כי אי השוויון שלך מוגדר רק אם המכנים שלך אינם שווים לאפס:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

עכשיו, הצעד הבא שלך יהיה "להיפטר" של שברים. זה יכול להיעשות אם הכפלת שני הצדדים של אי השוויון עם # x 1 # # ו # x-2 #.

עם זאת, אתה צריך להיות זהירים מאז אם אתה להכפיל את אי השוויון עם מספר שלילי, עליך להעיף את הסימן inequequality.

=========================================

הבה נבחן את המקרים השונים:

תיק 1: #color (לבן) (xxx) x> 2 #:

שניהם #x + 1> 0 # ו #x - 2> 0 # להחזיק. לכן, אתה מקבל:

#x - 2> 3 (x 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… לחשב # -3x # ו #+2# בשני הצדדים…

# -2x> 5 #

… מחולק ב #-2# בשני הצדדים. כפי ש #-2# הוא מספר שלילי, אתה חייב להעיף את סימן השוויון …

#x <- 5/2 #

עם זאת, אין #איקס# אשר עונה על המצב #x> 2 # ו #x <- 5/2 #. לכן, אין פתרון במקרה זה.

=========================================

itted #color (לבן) (xxx) -1 <x <2 #:

כאן, #x + 1> 0 # אבל #x - 2 <0 #. לכן, אתה צריך להפוך את סימן השוויון פעם אחת ואתה מקבל:

#color (לבן) (i) x - 2 <3 (x + 1) # #

#color (לבן) (x) -2x <5 #

… מחולק ב #-2# ואת להעיף את אי השוויון הירשם שוב …

#color (לבן) (xxx) x> -5 / 2 #

אי השוויון #x> -5 / 2 # זה נכון לכל #איקס# במרווח # -1 <x <2 #. לכן, במקרה זה, יש לנו את הפתרון # -1 <x <2 #.

=========================================

itted 3 #color (לבן) (xxx) x <-1 #:

כאן, שני המכנים הם שליליים. לכן, אם אתה מכפיל את אי השוויון עם שניהם, אתה צריך להפוך את הסימן אי השוויון פעמיים תקבל:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (לבן) (i) -2x> 5 #

#color (לבן) (xxi) x <- 5/2 #

כתנאי #x <-5 / 2 # היא מגבילה יותר מהמצב #x <-1 #, הפתרון במקרה זה הוא #x <- 5/2 #.

=========================================

בסך הכל, הפתרון הוא

#x <- 5/2 צבע (לבן) (xx) # # או #color (לבן) (xx) -1 <x <2 #

או, אם אתה מעדיף סימון אחר,

#x ב- (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

תשובה:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

הסבר:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

לתת לעבור אייתור בצד שמאל של אי השוויון על ידי גריעה # 3 / (x-2) # #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

עכשיו אנחנו חייבים, לשים את כל equequation אנחנו מכנה אותו. החלק עם (x + 1) אנחנו מתרבים על ידי # (x-2) / (x-2) # (שהוא 1!) ולהיפך:

# (x-2) / (x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1) /) (x + 1) (x-2)

עשינו את הטריק לפני כן, כדי לקבל את כל חוסר השוויון עם אותו המכנה:

# (- 2x-5) / (x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # מתאים פרבולה אשר נותן ערכים חיוביים ineterval # -oo, -1 uu 2, + oo # וערכים שליליים במרווח #-1, 2#. זכור כי x לא יכול להיות -1 או 2 עקב מתן אפס מכנה.

במקרה הראשון (המכנה חיובי) אנו יכולים לפשט את אי השוויון לתוך:

# -2x-5> 0 # ו #x in -oo, -1 uu 2, + oo #

שנותן:

#x <-5 / 2 # ו #x in -oo, -1 uu 2, + oo #.

יירוט של אינטרוולים לעיל נותן #x <-5 / 2 #.

במקרה השני, המכנה הוא שלילי, ולכן על מנת לתת תוצאה חיובית מספר, המונה חייב להיות שלילי:

# -2x-5 <0 # ו # x in -1, 2 #

שנותן

#x> -5 / 2 #. ו # x in -1, 2 #

יירוט של אינטרוולים נותן # x in -1, 2 #

בהצטרפות לפתרונות של שני המקרים אנו מקבלים:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #