שני מספרים שונים על ידי 3. סכום של גומלין שלהם הוא שבע עשיריות. איך מוצאים את המספרים?

תשובה:

ישנם שני פתרונות לבעיה:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

הסבר:

זוהי בעיה טיפוסית שניתן לפתור באמצעות מערכת של שתי משוואות עם שני משתנים לא ידועים.

תנו את המשתנה הלא ידוע הראשון להיות #איקס# והשני # y #.

ההבדל ביניהם הוא #3#, וכתוצאה מכך המשוואה:

(1) # x-y = 3 #

הגומלין שלהם # 1 / x # ו # 1 / y #, סכום זה הוא #7/10#, וכתוצאה מכך המשוואה:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

אגב, קיום הדדיות מחייב את ההגבלות:

#x! = 0 # ו #y! = 0 #.

כדי לפתור את המערכת, הבה נשתמש בשיטת החלופה.

מן המשוואה הראשונה אנו יכולים להביע #איקס# במונחים של # y # תחליף למשוואה השנייה.

משוואה) 1 (ניתן לנבוע:

(3) #x = y + 3 #

תחליף אותו למשוואה (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

אגב, זה מחייב הגבלה נוספת:

# y + 3! = 0 #, זה #y! = - 3 #.

שימוש במכנה משותף # 10y (y + 3) # ובהתחשב רק במספרים, אנו משנים משוואה (4) לתוך:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

זוהי משוואה ריבועית שניתן לכתוב מחדש כמו:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # או

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

שני פתרונות למשוואה זו הם:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

או

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

אז, יש לנו שני פתרונות # y #:

# y_1 = 2 # ו # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

במקביל, באמצעות # x = y + 3 #, אנו מסיקים כי ישנם שני פתרונות למערכת:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

בשני המקרים #איקס# גדול מ # y # על ידי #3#, כך התנאי הראשון של הבעיה הוא מרוצה.

בואו נבדוק את התנאי השני:

(א) לפתרון # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - בדק

(ב) לפתרון # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - בדק

שני הפתרונות נכונים.