מה הם השורשים האפשריים הרציונליים x ^ 5 x 12 x 2 x 3 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

תשובה:

לקווינטיקה הזאת אין שורשים הגיוניים.

הסבר:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

לפי משפט השורש הרציונלי, כל אפסים של #f (x) # הם ברורים בצורה # p / q # עבור מספרים שלמים #p, q # עם # p # מחלק של המונח המתמיד #-12# ו # q # מחלק מקדם #1# של המונח המוביל.

זה אומר כי אפשרי רק רציונלי אפסים הם:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

שים לב ש #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4xx ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # יש את כל המקדמים השליליים. לפיכך #f (x) # אין אפסים שליליים.

אז אפשר רק רציונלי אפסים הם:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

הערכה #f (x) # עבור כל אחד מהערכים הללו, אנו מוצאים שאף אחד הוא אפס. לכן #f (x) # אין לו רציונלי אפסים.

במשותף עם רוב quintics ו פולינומים מדרגה גבוהה, את אפסים אינם expressible במונחים של # n #שורשים או פונקציות בסיסיות, כולל פונקציות טריגונומטריות.

ניתן להשתמש בשיטות מספריות כגון Durand-Kerner כדי למצוא קירובים:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~ ~ 0.716229 + -0.587964i #