לפתור את משוואת ההפרש: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? דון איזה סוג של משוואה דיפרנציאלית זה, וכאשר זה עלול לקרות?

תשובה:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

הסבר:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

הכי טוב שנכתב

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

אשר מראה כי זה משוואה ליניארית מסדר שנייה הומוגנית

יש לו משוואה אופיינית

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

אשר ניתן לפתור כדלקמן

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

זהו שורש חוזר ולכן הפתרון הכללי הוא בצורה

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

זה לא מתנודד מודלים כמה סוג של התנהגות מעריכי כי באמת תלוי בערך של A ו- B. אחד יכול לנחש שזה יכול להיות ניסיון מודל האוכלוסייה או טורף / אינטראקציה טרף אבל אני לא יכול להגיד משהו מאוד ספציפי.

זה מראה יציבות וזה בערך כל מה שאני באמת יכול להגיד על זה

תשובה:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

הסבר:

משוואת הדיפרנציאל

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

היא משוואת מקדם הומוגני קבוע ליניארי.

עבור משוואות אלה הפתרון הכללי יש את המבנה

#y = e ^ {lambda x} #

החלפת יש לנו

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

כאן # e ^ {lambda x} ne 0 # ולכן הפתרונות חייבים לציית

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (למבדה -4) ^ 2 = 0 #

פתרון שאנו מקבלים

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

כאשר השורשים חוזרים, # d / (d למבדה) e ^ {lambda x} # הוא גם פתרון. במקרה # n # שורשים חוזרים, יהיו לנו פתרונות:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # ל # i = 1,2, cdots, n #

לכן, כדי לשמור על מספר תנאים ראשוניים, אנו כוללים אותם כפתרונות עצמאיים.

במקרה זה יש לנו

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

אשר התוצאה

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

משוואות אלה מופיעות בעת הדמיית מערכות פרמטרים ליניאריות מקובעות כמו אלה הנמצאות בתיאוריה מעגלית ליניארית או במכניקה ליניארית. משוואות אלה מטופלים בדרך כלל באמצעות שיטות מבצעיות אלגבריות כמו שיטות שינוי Laplace