כיצד ניתן לפתור משוואה דיפרנציאלית זו?

תשובה:

# (= x =) (+ 3) + (+) + (+

הסבר:

זה משוואה דיפרנציאלית, אשר פשוט אומר כי ניתן לקבץ את #איקס# תנאים & # y # מונחים משני צידי המשוואה. אז, זה מה שאנחנו נעשה הראשון:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (y) + e ^ (- 2x) * e ^ (y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x) dy / dx = e ^ (y) / y #

עכשיו, אנחנו רוצים להגיע דיי בצד עם y, ו dx בצד עם x של. נצטרך לעשות קצת סידור מחדש:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

עכשיו, אנחנו משלבים את שני הצדדים:

# (e + x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

בואו נעשה כל אינטגרל בתורו:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

ראשית, בואו לפצל את זה לשני אינטגרלים נפרדים על ידי תוספת / חיסור כלל:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

אלה נראים סוג של מעצבן. עם זאת, אנחנו יכולים לתת להם קצת מהפך כדי לגרום להם להיראות יותר נחמד (הרבה יותר קל לפתור):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x) dx #

שניהם עכשיו פשוט # u #- אינטגרלים. אם תגדיר #u = -x # ו # -3x # בהתאמה, תקבל את התשובה כמו:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# אם אנחנו עושים את המעריך השלילי חיובי, אנחנו מקבלים:

#int (ye ^ y) dy #

נצטרך להשתמש באינטגרציה על ידי חלקים עבור זה. הנוסחה היא:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

אנחנו הולכים #u = y #, ו #dv = e ^ y dy #. הסיבה היא שאנחנו רוצים קל # du # עבור אינטגרציה סופית, וגם בגלל # e ^ y # הוא קל מאוד לשלב.

לכן:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

עכשיו, אנחנו פשוט תקע ו chug:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

לשים הכל בחזרה:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

להיפטר מעריכים שליליים:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

וזוהי תשובה סופית למדי. אם אתה רוצה לפתור עבור # y #, אתה יכול, ואתה בסופו של דבר עם

# (= x =) (+ 3) + (+) + (+

שימו לב שאין לנו # + C # על LHS של משוואה זו. הסיבה לכך היא שגם אם היינו מנסחים זאת, היינו מחליקים אותה בסופו של דבר מה- RHS, וקבוע שרירותי פחות קבוע שרירותי עדיין ממתין לו (שרירותי). לפיכך, עבור בעיות אלה כל עוד יש לך # + C # בכל צד אחד של המשוואה, אתה תהיה בסדר.

מקווה שזה עזר:)