כיצד ניתן לפתור משוואה זו?

תשובה:

# "ראה הסבר" #

הסבר:

# "ראשית ליישם את השורשים רציונלי משפט למצוא שורשים רציונליים." #

# "אנו מוצאים" x = 1 "כמשורש רציונלי". #

# "So" (x-1) "הוא גורם, אנו מחלקים את הגורם הזה:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "יש לנו משוואה מעוקבת שנותרה ללא שורשים רציונליים". #

# "אנחנו יכולים לפתור את זה עם תחליף של שיטת וייטה". #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "תחליף" x = y + 2/9 "ואז אנחנו מקבלים" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "תחליף" y = (sqrt (22) / 9) z "ואז אנחנו מקבלים" # #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "תחליף" z = t + 1 / t "ואז אנחנו מקבלים" # #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "החלפת" u = t ^ 3 ", מניבה את המשוואה הריבועית:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "שורש משוואה ריבועית זו הוא u = 5.73717252" # #

# "החלפת המשתנים בחזרה, תשואות:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043 #

#y = 1.22408929 #

#x = 1.44631151 #

# "השורשים האחרים הם מורכבים:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i #

# "(הם יכולים להימצא על ידי חלוקת משם" (x-1.44631151)) #

תשובה:

האפס האמיתי הרציונאלי הוא # x = 1 #.

אז יש אפס אמיתי לא רציונלי:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

ו אפסים הקשורים לא אמיתי אמיתי.

הסבר:

בהתחשב you

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

שים לב שסכום המקדמים הוא #0#.

זה: #3-5+2 = 0#

מכאן אנו יכולים להסיק את זה # x = 1 # הוא אפס # (x-1) # גורם:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (לבן) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) # #

הנותרים מעוקב קצת יותר מסובך …

בהתחשב you

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

שינוי טשירנהאוס

כדי להפוך את המשימה של פתרון מעוקב פשוט יותר, אנחנו עושים את מעוקב פשוט יותר באמצעות החלפת ליניארית המכונה טרנספורמציה Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

איפה # t = (9x-2) #

השיטה של קרדנו

אנחנו רוצים לפתור:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

תן # t = u + v #.

לאחר מכן:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

הוסף את האילוצים # v = 22 / u # למחוק # (u + v) # טווח ולקבל:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

הכפל דרך על ידי # u ^ 3 # ולסדר מחדש מעט כדי לקבל:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

השתמש בנוסחה הריבועית כדי למצוא:

# (+ 6) + (= 610) = (610) - (610) - (610)

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

מאז זה אמיתי הגזירה היא סימטרי ב # u # ו # #, אנחנו יכולים להשתמש באחד השורשים האלה # u ^ 3 # והשני עבור # v ^ 3 # למצוא שורש אמיתי:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

ושורשים מורכבים הקשורים:

# t_2 = שורש אומגה (3) (305 + 27sqrt (113)) + שורש אומגה 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = אומגה 2 שורש (3) (305 + 27sqrt (113)) + שורש אומגה (3) (305-27sqrt (113)) #

איפה # אומגה = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # הוא שורש הקובייה הפרימיטיבית המורכבת של #1#.

עכשיו # x = 1/9 (2 + t) #. אז השורשים של המעוקב המקורי שלנו הם:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_2 = 1/9 (2 + שורש אומגה (3) (305 + 27sqrt (113)) + שורש אומגה 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_3 = 1/9 (2 + שורש אומגה 2) 3 () 305 + 27sqrt) 113 (+ שורש אומגה) 3 () 305-27sqrt) 113