שאלה # 90cf3 + דוגמה

תשובה:

כדי למצוא את שורשי המשוואות כמו # e ^ x = x ^ 3 #, אני ממליץ לך להשתמש בשיטת ניתוח נומרית רקורסיבית, הנקראת שיטת ניוטון

הסבר:

בואו נעשה דוגמה.

כדי להשתמש בשיטה של ניוטון, אתה כותב את המשוואה בצורה #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

חישוב #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

מכיוון שהשיטה דורשת מאיתנו לבצע את אותו חישוב פעמים רבות, עד שהיא תתכנס, אני ממליץ להשתמש בגיליון אלקטרוני של Excel; את שאר התשובות שלי יכיל הוראות כיצד לעשות זאת.

הזן ניחוש טוב עבור x לתוך תא A1. עבור משוואה זו, אני אכנס 2.

הזן את הפרטים הבאים בתא A2:

A1 (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

שים לב כי הנ"ל היא שפת גליון Excel עבור

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

העתק את תוכן התא A2 לתוך A3 דרך A10. לאחר רק 3 או 4 recouts, אתה יכול לראות כי השיטה יש converged ב

#x = 1.857184 #

תשובה:

אנו יכולים להשתמש בתיאור הערך הביניים כדי לראות שלכל זוג יש נקודה אחת לפחות בצומת.

הסבר:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # הוא רציף על כל קו אמיתי.

ב # x = 0 #, יש לנו #f (0) = 1 #.

ב # x = -1 #, יש לנו #f (-1) = 1 / e-1 # שהוא שלילי.

# f # הוא רציף ב #-1,0#, אז יש לפחות אחד # c # in #(-1,0)# עם #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # הוא רציף על כל קו אמיתי.

ב # x = 0 #, יש לנו #g (0) = 1 #.

ב # x = 2 #, יש לנו #g (2) = e ^ 2-8 # שהוא שלילי.

(שים לב ש # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# גרם # הוא רציף ב #0,2#, אז יש לפחות אחד # c # in #(0,2)# עם #g (c) = 0 #.