שאלה # 53a2b + דוגמה

תשובה:

הגדרה זו של המרחק היא קבועה תחת שינוי של מסגרת אינרציה, ולכן יש משמעות פיזית.

הסבר:

שטח מינקובסקי בנוי להיות שטח 4 מימדי עם פרמטרים קואורדינטות # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, שבו אנחנו בדרך כלל אומרים # x_0 = ct #. בלב ליבה של תורת היחסות הפרטית, יש לנו טרנספורמציות לורנץ, שהן טרנספורמציות ממסגרת אינרציה אחת לאחרת שמשאירות את מהירות האור הבלתי משתנה. אני לא אלך לגזירה מלאה של הטרנספורמציות של לורנץ, אם אתה רוצה שאסביר לך את זה, רק תשאלו ואני אעבור לפרטים נוספים.

מה שחשוב הוא הבא. כאשר אנו מסתכלים על החלל האוקלידיאני (המרחב שבו יש לנו את ההגדרה הרגילה של אורך שאנחנו רגילים # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), יש לנו טרנספורמציות מסוימות; סיבובים מרחביים, תרגומים ומראות. אם אנו מחשבים את המרחק בין שתי נקודות במסגרות התייחסות שונות המחוברות על ידי טרנספורמציות אלה, אנו מוצאים שהמרחק יהיה זהה. משמעות הדבר היא כי המרחק האוקלידיאני הוא קבוע תחת טרנספורמציות אלה.

עכשיו אנחנו מרחיבים את הרעיון הזה למרחב-זמן של 4 ממדים. לפני תורת היחסות הפרטית של אינשטיין, קשרנו מסגרות אינרטיאליות על ידי טרנספורמציות גליליות, שהחליפו רק קואורדינציה מרחבית # x_i # על ידי # x_i-v_it # ל #iin {1,2,3} # איפה # v_i # היא מהירות הצופה ב #אני# כיוון יחסית למסגרת המקורית. טרנספורמציה זו לא הותירה את מהירות האור קבועה, אבל היא השאירה את המרחק המושרה על ידי אלמנט הקו # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, פשוט משום שאין שינוי בקואורדינטת הזמן, כך שהזמן הוא מוחלט.

עם זאת, הטרנספורמציה הגלילית אינה מתארת במדויק את השינוי של מסגרת אינרציה אחת לאחרת, משום שאנו יודעים שמהירות האור איננה קבועה בתהליכי שינוי קואורדינטות נאותים. לכן הצגנו את הטרנספורמציה של לורנץ. המרחק האוקלידיאני נמשך למרחב-זמן 4-עמום כפי שנעשה לעיל אינו בלתי משתנה תחת טרנספורמציה זו של לורנץ, עם זאת, המרחק המושרה על ידי # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # הוא, שאנו מכנים את המרחק הנכון. אז למרות המרחק הזה Euclidian שבו משפט Pythagoras מחזיק הוא מבנה מתמטי הגון לחלוטין על שטח 4 עמום, אין לו שום משמעות פיזית, שכן הוא תלוי הצופה.

המרחק הנכון אינו תלוי בצופה, ולכן אנו יכולים לתת לו משמעות פיזית, הדבר נעשה על ידי חיבור הארקלנגט של קו עולמי דרך מרחב מינקובסקי תוך שימוש במרחק זה לזמן שחלף על ידי אובייקט הנוסע לאורך קו עולמי זה. שים לב שאם נשאיר את הזמן קבוע, משפט פיתגורס עדיין מחזיק בקואורדינטות מרחביות.

עריכה / עריכה נוספת:

שואל את השאלה הזאת ביקש ממני לפרט עוד קצת, הוא כתב: "תודה, אבל, אתה יכול בבקשה להסביר את שתי הפארות האחרונות קצת יותר.בספר ראיתי שהם היו # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. אנא הסבר "במהותה יש כאן גרסה דו-ממדית של מה שתיארתי לעיל, יש לנו תיאור של מרחב-זמן עם ממד רווחי חד-פעמי, על זה אנו מגדירים מרחק, או ליתר דיוק נורמה (מרחק מ המקור לנקודה) # s # תוך שימוש בנוסחה # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # איפה #איקס# הוא הקואורדינטות המרחביות # t # הקואורדינטות הזמניות.

מה שעשיתי לעיל היה גרסה תלת ממדית של זה, אבל יותר חשוב השתמשתי # (ds) ^ 2 # במקום # s ^ 2 # (הוספתי בסוגריים להבהרה של מה הוא מרובע). בלי להיכנס לפרטים גיאומטריה דיפרנציאלי יותר מדי, אם יש לנו קו המחבר שתי נקודות בחלל, # ds # הוא אורך של קטע זעיר של הקו, מה שנקרא קו אלמנט. באמצעות גירסה 2d של מה שכתבתי לעיל, יש לנו # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, אשר מתייחס אורך זה חתיכת זעירים לשינוי זעיר בקואורדינטות. כדי לחשב את המרחק בין המוצא לנקודה # x_0 = a, x_1 = b # במרחב-זמן, אנו מחשבים את אורך הקו הישר המוביל מהמקור לנקודה זו, קו זה ניתן # x_0 = a / bx_1 # איפה # x_1 ב 0, b #, אנו מציינים זאת # dx_0 = a / bdx_1 #, לכן # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, לכן # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, אשר אנו יכולים לשלב, נותן # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

לכן # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # in # (t, x) # קואורדינטות.

אז מה שכתבתי לעיל נותן מה שאתה קורא בספר. עם זאת גרסת קו אלמנט מאפשר לך לחשב את אורך כל שורה, לא רק קווים ישרים. הסיפור על טרנספורמציה לורנץ עדיין מחזיק, הנורמה הזאת # s # הוא קבוע תחת שינוי מסגרת ההתייחסות, בעוד # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # לא.

העובדה כי משפט Pythagoras אינו מחזיק לא מפתיע. משפט פיתגורס מחזיק בגיאומטריה אוקלידית. משמעות הדבר היא כי שטח שבו אתה עובד הוא שטוח. דוגמה של רווחים שאינם שטוחים היא פני השטח של כדור. כאשר אתה רוצה למצוא את המרחק בין שתי נקודות על פני השטח הזה, אתה לוקח את אורך השביל הקצר ביותר על פני השטח חיבור אלה שתי נקודות. אם היית בונה משולש ישר על משטח זה, שייראה שונה מאוד ממשולש בחלל האוקלידי, מכיוון שהקווים לא יהיו ישרים, משפט פיתגורס אינו מחזיק בכלל.

תכונה חשובה נוספת של גיאומטריה אוקלידית היא שכאשר אתה שם מערכת קואורדינטות על שטח זה, כל קואורדינטות מבצע את אותו תפקיד. אתה יכול לסובב את הצירים בסופו של דבר עם גיאומטריה זהה. בגיאומטריה של מינקובסקי לא לכל הקואורדינטות יש את אותו תפקיד, שכן ציר הזמן הוא בעל סימן מינוס במשוואות והאחרים לא. אם זה סימן מינוס לא היה שם, זמן ומרחב יהיה תפקיד דומה במרחב-זמן, או לפחות בגיאומטריה. אבל אנחנו יודעים שהזמן והזמן אינם זהים.