מהו התחום והטווח של y = sqrt (4-x ^ 2)?

תשובה:

דומיין: #-2, 2#

הסבר:

התחל על ידי פתרון המשוואה

# 4 - x ^ 2 = 0 #

לאחר מכן

# (2 + x) (2-x) = 0 #

#x = + - 2 #

עכשיו לבחור נקודת מבחן, תן לזה להיות #x = 0 #. לאחר מכן #y = sqrt (4 - 0 ^ 2) = 2 #, ולכן הפונקציה מוגדרת ב #-2, 2#.

לפיכך, גרף # y = sqrt (4 - x ^ 2) # הוא semicircle עם רדיוס #2# ואת התחום #-2, 2#.

אני מקווה שזה עוזר!

תשובה:

טווח: # 0lt = ylt = 2 #

הסבר:

התחום כבר נקבע # -2lt = xlt = 2 #. כדי למצוא את הטווח, אנחנו צריכים למצוא כל extrema מוחלט של # y # על מרווח זה.

# y = sqrt (4-x ^ 2) = (4-x ^ 2) ^ (1/2) #

# (d / dx = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (1/2) d / dx (4-x ^ 2) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (1/2) (-2 x) = (- x) / sqrt (4-x ^ 2) #

# dy / dx = 0 # מתי # x = 0 # והוא אינו מוגדר מתי # x = pm2 #.

#y (-2) = 0 #, #y (2) = 0 # ו #y (0) = 2 #.

לכן הטווח הוא # 0lt = ylt = 2 #.

נוכל להגיע למסקנה זו גם בהתחשב בגרף של הפונקציה:

# y ^ 2 = 4-x ^ 2 #

# x ^ 2 + y ^ 2 = 4 #

שהוא מעגל במרכז #(0,0)# עם רדיוס #2#.

שים לב לפתרון # y # נותן # y = pmsqrt (4-x ^ 2) #, שהיא קבוצה של שתיים שכן מעגל כשלעצמו אינו עובר את מבחן הקו האנכי, ולכן מעגל אינו פונקציה, אלא יכול להיות מתואר על ידי קבוצה של #2# פונקציות.

לכן # y = sqrt (4-x ^ 2) # הוא החלק העליון של המעגל, שמתחיל ב #(-2,0)#, עולה ל #(0,2)#, ואז יורד #(2,0)#, מראה טווח של # 0lt = ylt = 2 #.