מהו אורך קשת של r (t) = (t, t, t) על פח [1,2]?

תשובה:

#sqrt (3) #

הסבר:

אנו מחפשים את אורך קשת של פונקציה וקטורית:

# bb (ul r (t)) = t, t, t # # ל #t ב- 1,2 #

אשר אנו יכולים להעריך בקלות באמצעות:

# L = int_alpha ^ ביתא || bb (ul (r ') (t)) || dt #

אז אנחנו מחשבים את הנגזרת, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

כך אנו מרוויחים את אורך קשת:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

תוצאה זו טריוויאלי צריך לבוא בתור הפתעה כמו המשוואה המקורית הנתונה היא של קו ישר.