מהו antiderivative של 1 / sinx?

תשובה:

זה # -ln ABS (cscx + cot x) #

הסבר:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

המונה הוא ההפך ("השלילי") של נגזרת של denomoinator.

אז antiderivative הוא מינוס הלוגריתם הטבעי של המכנה.

# -ln ABS (cscx + cot x) #.

(אם למדת את הטכניקה של תחליף, אנחנו יכולים להשתמש #u = cscx + cot x #, לכן #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. ההבעה הופכת # -1 / u #.)

תוכל לאמת את התשובה הזו על ידי הבחנה.

גישה אחרת אליו

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin = 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

תחליף

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# (/ 1-u ^ 2) = 1 / (u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + b / (u + 1) # #=#

# (A + 1) + B (u-1)) / (u-1) (u + 1)) #

אנחנו צריכים #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""): # # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ")): # # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ")): # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 "):} #

לכן, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -int (1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int ((u + 1) ') / (u + 1) - (u-1)') / (u-1)) # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) + c) # # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ## in ## RR #

איך אתה מוצא את antiderivative של (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

אקטן (e ^ x) + C "כתוב" e ^ x "dx as" d (e ^ x) ", אז נקבל" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) עם החלופה y = "e ^ x", אנו מקבלים "int (d (y)) (1 + y ^ 2)" אשר שווה "arctan (y) + C" עכשיו תחליף בחזרה "y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C

איך אתה מוצא את antiderivative של e ^ (sinx) * cosx?

השתמש תחליף u למצוא inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. שים לב כי נגזרת של סינקס הוא cosx, ומאז אלה מופיעים באותו אינטגרל, בעיה זו נפתרת עם החלפת U. Du (((((u u u u u u u du du du du du du du du du du du du du du du du du du du du du u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u This This du du du = u). אבל u = sinx, כך: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C

מהו antiderivative של x x?

Intlnxdx = xlnx-x + C אינטגרל (antiderivative) של lnx הוא מעניין, כי תהליך למצוא אותו הוא לא מה שאתה מצפה. אנו נשתמש באינטגרציה על ידי חלקים כדי למצוא intlnxdx: intudv = uv-intvdu כאשר u ו- v הם פונקציות של x. כאן, אנו מניחים: u = lxx - dx = = / x-> du = 1 / xdx ו- dv = dx-> intdv = intdx-> x = x ביצוע החלפות נחוצות לתוך האינטגרציה על ידי חלקי הנוסחה, יש לנו: intlnxdx = (xn) (x) xintx (x) x (x) x (xxxx) > (אל תשכח את הקליטה של האינטגרציה!)