איך אתה מוצא את antiderivative של (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

תשובה:

#arctan (e ^ x) + C #

הסבר:

# "לכתוב" e ^ x "dx כמו" ד (e ^ x) ", אז נקבל" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "עם החלפה y =" e ^ x ", אנחנו מקבלים" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "אשר שווה ל" #

#arctan (y) + C #

# "עכשיו תחליף חזרה" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

תשובה:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" # #

הסבר:

אנחנו רוצים למצוא # 1) + 1 (e + x (2x)) d = x = int1 / (1 + e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

עכשיו בואו # u = e ^ x # ולכן לוקח את ההפרש על שני הצדדים נותן # du = e ^ xdx #. עכשיו אנחנו מחליפים את שתי המשוואות הללו לתוך האינטגרל כדי להגיע

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

זהו אינטגרל סטנדרטי אשר מעריך # arctanu #. תחליף עבור #איקס# אנו מקבלים תשובה סופית:

#arctan e ^ x + "c" #

תשובה:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

הסבר:

ראשית, אנחנו נותנים # u = 1 + e ^ (2x) #. כדי להשתלב ביחס # u #, אנו מתחלקים בנגזרת של # u #, שהוא # 2e ^ (2x) #:

# dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x / x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

כדי להשתלב ביחס # u #, אנחנו צריכים הכל לידי ביטוי במונחים של # u #, אז אנחנו צריכים לפתור עבור מה # e ^ x # הוא במונחים של # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln (u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1)) = = sqrt (u-1) #

עכשיו אנחנו יכולים לחבר את זה בחזרה לתוך אינטגרל:

# 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

הבא נציג להחלפה עם # z = sqrt (u-1) #. הנגזר הוא:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

כך אנו מתחלקים על ידי זה כדי להשתלב ביחס # z # (זכור כי חלוקת זהה הכפלת על ידי הדדי):

# 1 / 2int 1 / (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

עכשיו, אנחנו שוב יש לנו את המשתנה הלא נכון, אז אנחנו צריכים לפתור עבור מה # u # שווה במונחים של # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

זה נותן:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

זהו נגזרת משותפת של # tan ^ -1 (z) #, אז אנחנו מקבלים:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

ביטול כל ההחלפות, אנו מקבלים:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 ((1 + 2)) + (+) = + (= 1)

# = tan ^ ^ -1 (e ^ x) + C #