איך אתה מוצא את antiderivative של dx / (cos (x) - 1)?

תשובה:

לעשות כמה כפל נוגד, להחיל כמה טריג, ולסיים כדי לקבל תוצאה של # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

הסבר:

כמו עם רוב הבעיות של סוג זה, נפתור אותו באמצעות טריק כפל מצומדות. בכל פעם שיש לך משהו מחולק על ידי משהו פלוס / משהו פחות (כמו ב # 1 / (cosx-1) #), זה תמיד מועיל לנסות כפל מצמידים, במיוחד עם פונקציות טריג.

נתחיל על ידי הכפלה # 1 / (cosx-1) # על ידי מצומד של # cosx-1 #, שהוא # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) # #

אתה עשוי לתהות למה אנחנו עושים את זה. זה כל כך אנחנו יכולים ליישם את ההבדל של ריבועים רכוש, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, במכנה, כדי לפשט אותו קצת. חזרה לבעיה:

# 1 / cosx-1) (cosx + 1) / cosx + 1) = (cosx + 1) / (cosx-1) (cosx + 1)

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

# xolor (לבן) (III) צבע (לבן) (XXX) צבע לבן (XXX) צבע (לבן) (XXX) b #

שימו לב איך זה בעצם # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

ללא שם: כעת, מה לגבי # cos ^ 2x-1 #? טוב, אנחנו יודעים # sin = 2x = 1-cos ^ 2x #. בואו להכפיל את זה על ידי #-1# ולראות מה אנחנו מקבלים:

# -1 (sin = 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin = 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

מסתבר ש # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, אז בואו להחליף # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin = 2x #

זה שווה ל # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -in = 2x #, אשר, באמצעות כמה טריג, מסתכם # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

בשלב זה, אנחנו פשוט לפשוט # int1 / (cosx-1) dx # ל # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. באמצעות כלל הסכום, זה הופך:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

הראשון שבהם הוא # cscx # (כי נגזרת של # cscx # J # -cotxcscx #) והשני הוא # cotx # (כי נגזרת של # cotx # J # -csc ^ 2x #). הוסף על קבוע של אינטגרציה # C # ויש לך את הפתרון שלך:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #