למשולש יש קודקודים A (a, b), C (c, d) ו- O (0, 0). מהי המשוואה והאזור של המעגל המוגבל של המשולש?

למשולש יש קודקודים A (a, b), C (c, d) ו- O (0, 0). מהי המשוואה והאזור של המעגל המוגבל של המשולש?
Anonim

תשובה:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # איפה

# p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

# (+ b = d) ^ 2) / (4) (ad-b c ^ ^ 2) # # (= a + c)

#A = pi s #

הסבר:

אני הכללה את השאלה; בוא נראה איך זה הולך. השארתי קודקוד אחד במקור, מה שהופך אותו קצת פחות מבולגן, ומשולש שרירותי מתורגם בקלות.

המשולש הוא כמובן לא הכרחי לחלוטין לבעיה זו. העיגול המוגבל הוא המעגל בין שלוש הנקודות, אשר במקרה הן שלוש הקודקודים. המשולש עושה הופעה הפתעה בפתרון.

כמה טרמינולוגיה: המעגל המוגדר נקרא המשולש circumcircle ומרכזו של המשולש circumcenter.

המשוואה הכללית למעגל עם מרכז # (p, q) # ואת רדיוס בריבוע # s # J

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

ואת שטח המעגל הוא #A = pi s #

יש לנו שלושה אלמונים # p, q, s # ואנחנו יודעים שלוש נקודות, אז אנחנו מקבלים שלוש משוואות:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # כי המקור הוא על המעגל.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

בואו לפתור את המשוואות בו זמנית. בואו נהפוך אותם לשתי משוואות ליניאריות על ידי הרחבת וזניחת זוגות, אשר מסתכם להפסיד # p ^ 2 + q ^ 2 # משמאל # s # בצד ימין.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

הפחתת, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

באופן דומה, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

זו שתי משוואות בשני אלמונים. # AX = K # יש פתרון # X = A ^ {- 1} K. # אני זוכר את השניים על ידי שני מטריקס הפוך אשר אני לא יודע איך לעצב, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}} #

בשבילנו זה אומר

# p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

ורדיוס ברבוע של

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

# c = 2 + d ^ 2) - c (a + 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

# (+ b = d) ^ 2) / (4) (ad-b c ^ ^ 2) # # (= a + c)

כך שטח של #פאי# זה הסכום.

אנחנו יכולים לראות את הביטוי להיות יותר סימטרי אם ניקח בחשבון מה קורה עבור המשולש שרירותי #(א ב ג ד ה ו).# קבענו # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # אבל אני לא אעבוד את זה עכשיו.

אציין את המונה של # s # הוא תוצר של שלושת אורכי בריבוע של הצדדים של המשולש, ומכנה של # s # הוא שש עשרה פעמים באזור הריבוע של המשולש.

ב Rational Trigonometry אורכי בריבוע נקראים מרובע ו שש עשרה פעמים באזור הריבוע נקרא quadrea. מצאנו את הרבע של רדיוס circumcircle הוא תוצר של quadrances של המשולש מחולק על ידי quadrea שלה.

אם אנחנו רק צריכים את רדיוס או שטח circumcircle, אנחנו יכולים לסכם את התוצאה כאן כמו:

רדיוס הריבוע של circumcircle הוא תוצר של אורכי בריבוע של המשולש מחולק פי שש עשרה השטח המשולש של המשולש.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #