שלושה מוטות כל אחד מסה M אורך L, מחוברים יחד כדי ליצור משולש שווה צלעות. מהו רגע האינרציה של מערכת על ציר העובר דרך מרכז המסה וניצב למישור המשולש?

תשובה:

# 1/2 ML ^ 2 #

הסבר:

רגע האינרציה של מוט יחיד על ציר העובר במרכזו וניצב אליו הוא

# 1/12 ML ^ 2 #

זה של כל צד של המשולש שווה צלעות על ציר החולף דרך מרכז המשולש וניצב למישור שלה הוא

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(על פי משפט הציר המקביל).

רגע האינרציה של המשולש על ציר זה הוא אז

# 3times 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

בהנחה מוטות להיות רזה, המיקום של מרכז המונית של כל מוט הוא במרכז מוט. כאשר מוטות יוצרים משולש שווה צלעות, מרכז המסה של המערכת יהיה במרכז של המשולש.

תן # d # להיות מרחק של centroid מכל הצדדים.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

רגע של אינרציה של מוט יחיד על ציר העובר דרך הניצב centroid אל המטוס של המשולש באמצעות therorm ציר במקביל הוא

#I_ "rod" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

ישנם שלושה מוטות להציב דומה, ולכן רגע מוחלט של אינרציה של שלושה מוטות יהיה

#I_ "system" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "מערכת" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

המונח השני באמצעות (1) הוא

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

ברגע של אינרציה של מוט אחד על מרכז המסה שלו

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

המונח הראשון ב (2) הופך

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

באמצעות (3) ו- (4), משוואה (2) הופכת

#I_ "מערכת" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #