מהי משמעותו של טופס בלתי מוגדר? ואם אפשר רשימה של כל צורות בלתי מוגדרים?

ראשית, אין מספרים בלתי ידועים.

יש מספרים ויש תיאורים שנשמעים כאילו הם יכולים לתאר מספר, אבל הם לא.

"המספר #איקס# זה עושה # x + 3 = x-5 #"הוא תיאור כזה, וכך גם" המספר #0/0#.'

עדיף להימנע מלומר (וחושב) כי "#0/0# הוא מספר בלתי מוגדר ".

בהקשר של מגבלות:

כאשר הערכת גבול של פונקציה "נבנה" על ידי כמה שילוב אלגברי של פונקציות, אנו משתמשים במאפיינים של גבולות.

הנה כמה. שימו לב למצב שצוין בהתחלה.

אם #lim_ (xrarra) f (x) # קיים ו #lim_ (xrarra) g (x) # קיים, לאחר מכן

(x) x (x) x (x) (x) x (x) x (x) x (x)

(x) - x (x) - x (x) - x (x) - x (x)

(x) x (x) x (x) (x) x (x) x (x) x (x)

(x) (x) (x) (/ x) (x) x (x) x (x) x (x) ובלבד #lim_ (xrarra) g (x)! = 0 #

כמו כן, אנו משתמשים בסימון: #lim_ (xrarra) f (x) = oo # כדי לציין כי הגבול אינו קיים, אבל אנחנו מסבירים את הסיבה (כמו #xrarra, #f (x) מגביר ללא כבול)

אם אחד (או שניהם) של גבולות #lim_ (xrarra) f (x) # ו #lim_ (xrarra) g (x) # נכשל להתקיים, אז הטופס שאנו מקבלים מן המאפיינים הגבול עשוי להיות בלתי מוגדר. למרות שזה לא בהכרח לא מוגדר.

דוגמה 1:

#f (x) = 2x + 3 #, ו #g (x) = x ^ 2 + x #, ו # a = 2 #

#lim_ (xrarr2) f (x) = 7 # ו #lim_ (xrarr2) g (x) = 6 #.

ערך הגבול:

#lim_ (xrarr2) (f (x) + g (x)) # נקבעת על פי צורת הסכום:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = 7 + 6 #

דוגמה 2:

#f (x) = x + 3 + 1 / x ^ 2 #, ו #g (x) = x ^ 2 + 7 + 1 / x ^ 2 #, ו # a = 0 #

#lim_ (xrarr0) f (x) = oo # ו #lim_ (xrarr0) g (x) = oo #.

על אף העובדה שאין גבול, שאלת הגבול:

#lim_ (xrarr0) (f (x) + g (x)) # נקבעת על פי צורת הסכום:

# x (+) x (+ x) x (x x)

הסימון נראה כאילו אנחנו אומרים משהו שאנחנו לא אומרים. אנחנו לא אומרים כי אינסוף הוא מספר שאנחנו יכולים להוסיף לעצמו כדי לקבל אינסוף.

מה שאנחנו אומרים הוא:

הגבול #איקס# גישות #0# מסכום של שתי פונקציות אלה אינו קיים, כי כמו #x rarr 0 #, שניהם #f (x) # ו #g (x) # להגדיל ללא כבול, ולכן את הסכום של פונקציות אלה גם מגדילה ללא קשורה.

דוגמה 3: עבור אותה הגדרה כמו בדוגמה 2, שקול את גבול ההפרש במקום את הסכום:

אם #f (x) # ו #g (x) # גדלים ללא כבול #x rarr 0 #, אנו יכולים להסיק כי הסכום הוא גם גדל w / o קשורה. אבל אנחנו לא יכולים להסיק מסקנה על ההבדל.

#lim_ (xrarr0) (f (x) -g (x)) # אינו נקבע על פי צורת ההבדל:

# (x) - x (= x) - lim_ (xrarra) g (x) = oo = oo = "?" #

ל # f-g # בסופו של דבר אנחנו מקבלים # - 4#, אלא בשביל #g - f # אנחנו מקבלים #+4#

צורות בלתי מוגבלות של גבולות כוללות:

#0/0#, # oo / oo #, # oo-oo #, # 0 * oo #, #0^0#, #oo ^ 0 #, # 1 ^ oo #

(האחרון הפתיע אותי עד שהגעתי לזיכרון שלי

# 1 (xrar) (1 + 1 / x) ^ x = lim_ (xrarr0) (1 + x) ^ (1 / x) = e #)

הצורה # L / 0 # עם #L! = 0 # הוא אולי "למחצה לקבוע". אנו יודעים כי הגבול נכשל להתקיים, וכי הוא נכשל בגלל כמה או הולך וגדל ללא ירידה ללא התנהגות קשורה, אבל אנחנו לא יכולים לומר מה.