הראה כי 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), עבור n> 1?

תשובה:

למטה

הסבר:

כדי להראות כי אי השוויון נכון, אתה משתמש אינדוקציה מתמטית

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # # ל #n> 1 #

שלב 1: להוכיח אמת עבור # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

מאז # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, לאחר מכן #LHS> RHS #. לכן, זה נכון # n = 2 #

שלב 2: נניח נכון עבור # n = k # כאשר k הוא מספר שלם #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

שלב 3: מתי # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

כלומר # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2 (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # (1) בהנחה

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) # #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

מאז #k> 1 #, לאחר מכן # -1 / sqrt (k + 1) <0 # ומאז # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, לאחר מכן # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # לכן # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

שלב 4: על ידי הוכחה של אינדוקציה מתמטית, אי שוויון זה נכון עבור כל מספרים שלמים # n # גדול מ #1#

אי השוויון כאמור הוא שקר.

לדוגמה, עבור #n = 3 #:

# (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (בערך 2.3) ביטול (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (כ 2.8) #

סתירה.