איך אתה מוכיח Tan 2 (x / 2 + Pi / 4) = (1 + sinx) / (1-sinx)?

תשובה:

הוכחה להלן (זה ארוך)

הסבר:

חולה לעבוד את זה לאחור (אבל כתיבה עושה את זה קדימה יעבוד גם):

# (1 + sinx) / (1 + sinx) (1 + sinx) / (1-sinx) * (1 + sinx) / (1 + sinx) #

# = (1 + sinx) ^ 2 / (1-sin ^ 2x) # #

# = (1 + sinx) ^ 2 / cos ^ 2x #

# = ((+ + Sinx) / cosx) ^ 2 #

ואז תחליף ב # t # נוסחה (הסבר בהמשך)

(1 + t ^ 2) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2)) # 2 =

# ((1 + t ^ 2 + 2t) / (1 + t ^ 2)) / (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2)) ^ 2 #

# = (1 + t ^ 2 + 2t) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = (1 + 2t + t ^ 2) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + t) ^ 2 / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# 1 (1 + t) ^ 2 / ((1-t) (1 + t)) ^ 2 #

# = ((1 + t) / (1-t)) ^ 2 #

# = (1 + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2))) ^ 2 #

# ((tan (pi / 4) + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2) tan (pi / 4)) ^ ^ 2 # שים לב ש: (#tan (pi / 4) = 1) #

# = (tan (x / 2 + pi / 4)) ^ 2 #

# = tan ^ 2 (x / 2 + pi / 4) # #

פורמולציות T עבור משוואה זו:

# sinx = (2t) / (1-t ^ 2) #, # cosx = (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2) # #, איפה # t = tan (x / 2) # #