איך אתה מוכיח (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)? - טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה 2024

נזדקק לשתי הזהויות הללו כדי להשלים את ההוכחה:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt (1 + cosx) / 2) # #

אני אתחיל עם הצד הימני, ואז לתפעל אותו עד שזה נראה כמו בצד שמאל:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) # #

#color (לבן) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (לבן) (RHS) = (+ - sqrt (1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (לבן) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

# צבע (לבן) (RHS) = (1 + cosx) / 2 צבע (אדום) (* sinx / sinx) # #

#color (לבן) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) # #

# (colx) / (1 / cosx) (# / cosx) (# / cosx)

#color (לבן) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) # #

#color (לבן) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) # #

#color (לבן) (RHS) = LHS #

זאת ההוכחה. מקווה שזה עזר!

אנו מבקשים להוכיח את הזהות:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

שקול את LHS של הביטוי, ולהשתמש בהגדרה של משיק:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) # #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) # #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

עכשיו, שקול את RHS, ולהשתמש בזהות:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

נותנים לנו:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

לכן:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) # #

# (ביטול (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

(= 1 cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #

איך אתה מוכיח כי sqrt (3) cos (x + pi / 6) - cos (x + pi / 3) = cos (x) -sqrt3sinx?

(X / pi / 3) - [cosx * cos (pi / 3)) x = pi / 6) -cos (x-pi / 3) = sqx3 (cosx * cos (pi / (cxx * (1/2) - sinx * (sqrt3 / 2)] = (3cosx (3 cosx-sqrt3sinx-cosx + sqrt3sinx) / 2 = (2cosx) / 2 = cosx = RHS

איך אתה מוכיח: secx - cosx = sinx tanx?

באמצעות ההגדרות של secx ו- tanx, יחד עם זהות החטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1, יש לנו secx-cosx = 1 / cosx-cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x ) / cosx = sin = 2x / cosx = sinx * sinx / cosx = sinxtanx

איך אתה מוכיח Tan 2 (x / 2 + Pi / 4) = (1 + sinx) / (1-sinx)?

(1 + sinx) (1-sinx) (1 + sinx) (1-sinx) = (1 סינקס) (1 + sinx) (1 + sinx) = (1 + sinx) = 2 / (1-sin = 2x) = (1 + sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (1 + sinx) / cosx) ^ 2 (1 + t ^ 2)) = 2 (= 1 (t + 2)) / (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2 + 2t) / (1 + t ^ 2)) / (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2)) ^ 2 = = (1 + t ^ 2 + 2t) (1-t ^ 2)) ^ 2 = = (1 + t) ^ 2 / (1-t ^ 2)) (1 + t)) ^ 2 = (1 + t) (1-t)) ^ 2 = (1 + t) x / 2)) / (1 / tan) (/ 2/2)) = 2 = ((tan (pi / 4) + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2) tan (pi / 4) = (2) tan (pi / 4) = 1) = (t / 2 + pi / 4)) ^ 2 = tan ^ 2 (x / 2 + pi / 4) (1 + t ^ 2), כאשר t = tan (x / 2)