מהו התחום והטווח של f (x) = (x + 9) / (x-3)?

תשובה:

דומיין: # mathbb {R} setminus {3} #

טווח: # mathbb {R} #

הסבר:

דומיין

תחום הפונקציה הוא קבוצת הנקודות שבהן מוגדרת הפונקציה. עם פונקציה מספריים, כפי שאתה בוודאי יודע, פעולות מסוימות אינן מותרות - כלומר חלוקה #0#, לוגריתמים של מספרים לא חיוביים ואפילו שורשים של מספרים שליליים.

במקרה שלך, אין לך לוגריתמים ולא שורשים, אז אתה רק צריך לדאוג למכנה. בעת הטלת #x - 3 ne 0 #, תמצא את הפתרון #x ne 3 #. אז, התחום הוא סט של כל המספרים הממשיים, למעט #3#, שבו אתה יכול לכתוב כמו # mathbb {R} setminus {3} # או בצורת המרווח # (- infty, 3) כוס (3, infty) #

טווח

הטווח הוא מרווח שאקסטרמה שלו הוא הערכים הנמוכים ביותר האפשריים ביותר שניתן להגיע על ידי הפונקציה. במקרה זה, אנו כבר מבחין כי הפונקציה שלנו יש נקודת ללא הגדרה, אשר מוביל אסימפטוט אנכי. כאשר מתקרבים אסימפטוטים אנכיים, פונקציות לפרוץ לכיוון # -infty # או # אינץ '#. בואו ללמוד מה קורה מסביב # x = 3 #: אם ניקח בחשבון את המגבלה השמאלית שיש לנו

#lim_ {x to 3 ^ frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ = - infty #

למעשה, אם #איקס# גישות #3#, אבל עדיין פחות #3#, # x-3 # יהיה קצת פחות מאפס (לחשוב, למשל, ב #איקס# בהנחה ערכים כמו #2.9, 2.99, 2.999,…#

לפי אותו היגיון, #lim_ {x to ^ ^ +} frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ +} = infty #

מאז הפונקציה מתקרבת # -infty # ו # אינץ '#, טווח הוא # (- / infty, infty) #, אשר כמובן שווה את כל המספרים האמיתיים שנקבעו # mathbb {R} #.

תשובה:

#x ב- (-oo, 3) uu (3, oo) # #

#y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

הסבר:

המכנה של f) x אינו יכול להיות אפס כפי שזו תגרום ל - f (x) לא מוגדר. השוואת המכנה לאפס ולפתרון נותנת את הערך ש- x לא יכול להיות.

# "פתרון" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (אדום) "ערך לא נכלל" #

# "domain" x ב- (-oo, 3) uu (3, oo) #

# "let" y = (x + 9) / (x-3) #

# "סידור מחדש של הנושא x" #

#y (x-3) = x + 9 #

# xy-3y = x + 9 #

# xy-x = 9 + 3y #

#x (y-1) = 9 + 3y #

# x = (9 + 3y) / (y-1) #

# "פתרון" y = 1 = 0rArry = 1larrcolor (אדום) "ערך לא נכלל" #

# "range" y (-oo, 1) uu (1, oo) #

גרף {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}