מה המשמעות של הגבול של פונקציה?

תשובה:

ההצהרה #lim_ (x a) f (x) = L # פירו you #איקס# מתקרב # a #, #f (x) # מתקרב # L #.

הסבר:

ההגדרה המדויקת היא:

עבור כל מספר אמיתי #ε>0#, קיים מספר ממשי נוסף #δ>0# כך שאם # 0 <| x-a |<>, לאחר מכן # | f (x) -L<>.

שקול את הפונקציה #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) # #.

אם אנחנו מגרש את הגרף, זה נראה כך:

אנחנו לא יכולים להגיד מה הערך # x = 1 #, אבל זה נראה כאילו #f (x) # גישות #2# כפי ש #איקס# גישות #1#.

בואו ננסה להראות את זה #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

השאלה היא, איך אנחנו מקבלים מ # 0 <| x-1 |<> ל # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 <>?

אנחנו חייבים להתחיל עם ערך כלשהו #ε# ולאחר מכן למצוא ערך המתאים עבור #δ#.

בוא נתחיל עם

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 = (x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

התנאי השני הוא

# | x-1 | <δ #

ההגדרה מתאימה בדיוק אם #δ = ε#.

אנחנו רק הראו את זה עבור כל #ε#, יש #δ# אז זה # | f (x) -2<> מתי # 0 <| x-1 |<>.

אז הראינו את זה

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #