כיצד לחשב את זה? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + דוגמה

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

למרבה הצער הפונקציה בתוך האינטגרל לא תשתלב במשהו שלא ניתן לבטא במונחים של פונקציות בסיסיות. יהיה עליך להשתמש בשיטות מספריות כדי לעשות זאת.

אני יכול להראות לך איך להשתמש הרחבת הסדרה כדי לקבל ערך משוער.

התחל בסדרה הגיאומטרית:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # ל # rlt1 #

עכשיו להשתלב ביחס # r # ושימוש במגבלות #0# ו #איקס# כדי לקבל את זה:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

שילוב הצד השמאלי:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

עכשיו לשלב את יד ימין על ידי שילוב המונח על ידי המונח:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

מכאן נובע כי:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

עכשיו מחלקים #איקס#:

(x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 +) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

אז עכשיו יש לנו ביטוי סדרה כוח עבור הפונקציה התחלנו במקור עם. לבסוף, נוכל לשלב שוב כדי לקבל:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

שילוב המונח יד ימין על ידי הצד נותן לנו:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ _ ^ ^ 1 #

הערכת המגבלות ל -4 תנאים תעניק לנו ערך משוער:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

עכשיו, זה רק ארבעה תנאים. אם אתה רוצה מספר מדויק יותר פשוט להשתמש במונחים נוספים בסדרה. לדוגמה, מעבר אל המונח 100:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x ~~-1.63498#

כצידה, אם אתה עובד את התהליך המדויק אך להשתמש בסימון סיכום (כלומר, עם סיגמא גדולה במקום לכתוב את תנאי הסדרה) תמצא כי:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

אשר רק את הפונקציה רימן זטה של 2, כלומר:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

אנחנו למעשה כבר יודעים את הערך של זה להיות: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

מכאן ניתן למדוד את הערך המדויק של האינטגרל כך:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #